210102


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  • 配点

①10×3点②15点③(1)8点(2)12点④15点⑤(1)8点(2)12点

  • 解答

①(1)5/324 (2)3/2 (3)x=1,y=2,z=3

②15°

③(1)6 (2)3*2^n

④8

⑤(1)3n^2/2-n/2 (2)2組

  • 各問の必要な知識と難易度

①(1)順列,確率 ☆☆☆★★

(2)相加相乗平均 ☆☆★★★

(3)連立方程式 ☆☆☆☆★

②三角比,方程式(数Ⅱ),特別角の三角比 ☆★★★★

③(1)コーシー,相加相乗 ☆☆★★★

(2)コーシー,相加相乗,数列 ☆★★★★

④等比数列,整数 ☆★★★★

⑤(1)数列 ☆☆★★★

(2)数列,整数 ☆★★★★

  • 解説

①(1)全パターンは6^6通り。これで(1)の条件は6個の順列に等しいから6!

よって、6!/6^6=5/324

(2)相加相乗を使えるように変形してから相加相乗。

定義域はx^2≠0でx^2≧0であるからx^2>0より相加相乗平均を用いて、

x^4/2+1/x^2=x^4/2+1/2x^2+1/2x^2≧3(x^4/2*1/2x^2*1/2x^2)^(1/3)=3/2

等号成立は、x^4/2=1/2x^2の時でx^2=1の時。

(3)どんなやり方でも出来ますが…

x+2y=3z-4 2x+3y=z+5 3x+y=2z-1を全て足して3で割ると

x+y=zとなります。これを上の3式のうち二つに代入すれば普通の二元一次方程式に帰着して

x,yの値がでてzもでます。

②tanα+tan(π/2-α)+3sin(2α)=2√6をtanαのみであらわされるよう

変形していきます。

tanα+1/tanα+6sinαcosα=2√6

1/tanαを両辺にかけて

1-2√6/tanα+1/tan^2α=-6/(1+tan^2α)

(tan^2α+1)(1-2√6/tanα+1/tan^2α)=-6

tan^2α-2√6tanα+8-2√6/tanα+1/tan^2α=0

(tanα+1/tanα)^2-2√6(tanα+1/tanα)+6=0

(tanα+1/tanα-√6)^2=0

tanα+1/tanα=√6

tanα^2-√6tanα+1=0

∴tanα=√6+-√2/2

これより、sinθ=√6-√2/4 (0<θ<π/4)

よって、θ=15°

③(1)直方体の三辺をa,b,cとすると対角線の和は√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2) と表され、これにコーシー・シュバルツの不等式と相加相乗平均を用いる。

√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≧(a+b)/√2+(b+c)/√2+(c+a)/√2

=√2(a+b+c)≧√2*(3(abc)^(1/3))=6(等号成立は1/a=1/b=1/c,a=b=cからa=b=c=√2)

(2)何となく答えの予想はつくと思いますが、一般的なA_nをa,b,cを用いて表して(1)と同様に解く。

a_n=p_n*a+q_n*b+q_n*cと表し、b_n,c_nも同様にp_n,q_nを用いて

b_n=q_n*a+p_n*b+q_n*c,c_n=q_n*a+q_n*b+p_n*cと表される。

対照的だからa_nの部分だけをとりあえず考える。

a_(n+1)=b_n+c_n=2q_n*a+(p_n+q_n)b+(p_n+q_n)c

=p_(n+1)*a+q_(n+1)*b+q_(n+1)*c

よって、p_(n+1)=2q_n,p_n+q_n=q_(n+1) (p_1=1,q_1=0,q_2=1)。

2q_(n-1)+q_n=q_(n+1)とq_nの三項間漸化式が導き出されるのでこれを解く。

(q_(n+1)-2q_n)=-(q_n-2q_(n-1)) (q_(n+1)+q_n)=2(q_n+q_(n-1))より

q_(n+1)-2q_n)=(-1)^(n-1) q_(n+1)+q_n=2^(n-1)なので

q_n=(2^(n-1)-(-1)^(n-1))/3。これより、p_n=2^(n-1)-2(-1)^(n-2)/3もわかる。

(1)より三本の対角線の和≧√2(a_n+b_n+c_n)=√2(a+b+c)(p_n+2q_n)

=√2*2^(n-1)(a+b+c)≧√2*3*(abc)^(1/3)*2^(n-1)=3*2^n

等号成立は、a=b=c=√2の時。

④等比数列はA_n=a*k^(n-1)としてあらわせる(aは初項,kは公比)

ここで、kが有理数であることはA_n/A_(n-1)=kよりわかる。

よってk=q/pとおくと(p,qは互いに素)

A_n=a*(q/p)^(n-1)とおける。

p≧2のpの値について

A_(n+t)/A_n=(q/p)^tとなるからA_(n+t)=A_n*(q/p)^t。

pとqは互いに素であるから

A_(n+t)が整数であるためにはA_nはp^tを約数にもたなければならない。

(A_nとA_(n+t)の間のあるA_(n+s)についてはA_(n+s)=A_n*(q/p)^sであって

これが整数である条件はA_nがp^sを約数にもつことであるから上のn+tが整数である条件に含まれる。)

A_n=c*p^tとおくと(cは整数)A_(n+t)=c*q^tとおける。

問題の条件より

1≦c*p^t≦100かつ1≦c*q^t≦100

を満たすtの個数が最大のなるのはc=1の時で

p=2,q=1またはp=1,q=2の時に7個である。

つまり7個の時は、(1,2,4,8,16,32,64をとることで成立してしまう。)

よって、成立しないためのtの最小値は8である。

⑤n番目のm角数を一般的に表すことが出来ます。

m=3の時とかなどをとやってみると差が規則的な変化をするので

A_(n,m)=Σ[k=0,n-1]1+(m-2)k=n(n-1)(m-2)/2 +n=n((n-1)(m-2)+2)/2となります。

(1)はm=5の時なのでその式に5を代入。

よって、A_(n,5)=n(3n-1)/2=3n^2/2-n/2

(2)は上の式がわかれば単なる整数問題。

ak((ak-1)(b-2)+2)/2=bk((bk-1)(a-2)+2)/2

a(abk-2ak-b+4)=b(abk-2bk-a+4)

ab(a-b)k-2(a+b)(a-b)k+4(a-b)=0

(a-b)(abk-2(a+b)k+4)=0

(a-2)(b-2)=4-4/k

左辺整数よりk=1,2,4でその時のa,bを適宜求めると

(a,b,k)=(4,3,2)(5,3,4)

  • 感想

今回は、数列や相加相乗がややしつこかったかなと反省。

③の問題はa=b=cとしてしまえば解けてしまう辺りが安直なところ。

①は問題晒す30分前に作ったから(3)なんかすっからかんな問題に・・。

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