12240008

NO.8-1　三角比と数列 ～難易度☆★★★★

問題

 39 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/02(金) 15:08:55.38 ID:zYeafCCr0
    全ての自然数nについて数列{A_n}は以下の漸化式を満たしています。
    A_1=3/4,A_(n+1)=(1-√(1-A_n))/2
    一般項A_nを求めてください。

解答

...

A_n=sin^2(π/3*2^(n-1))

解説

1-2A_(n+1)=√(1-A_n)と変形して ここで1-2sin^2θとかを思い出してA_n=sin^2θとおく。 1-2A_(n+1)=cosθ A_(n+1)=(1-cosθ)/2=sin^2(θ/2) ここでA_1=(√3/2)^2=sin^2(π/3)より A_n=sin^2(π/3*2^(n-1)) 一応、0<A_n<1を示しておきます。 0<A_1<1。0<A_k<1を仮定して0<A_(k+1)<1は容易に示される。 ∵0<(1-√(1-A_n))/2<1