210112


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  • 配点 200点満点

①8×5点②20点③(1)10点(2)10点(3)20点④(1)20点(2)30点⑤(1)10点(2)10×2点(3)20点

  • 解答

①(1)(2,-1) (2)√6/2 (3)7 (4)2 (5)-1

②y=-x+√3

③(1)√3-√2 (2)√n (3)4

④(1)4 (2)(3-√5)/2

⑤(1)2^(n+1)+2^n-1 (2)(α)なし(β)なし (3)なし(証明は解説参照)

  • 各問の必要な知識とおおよその難易度 ()内は別解として使えるまたは使えそうなもの)

①(1)平行移動,二次関数 ☆☆☆★★

(2)三角関数,合成,三倍角の公式(微分) ☆☆★★★

(3)n進数 ☆☆☆☆★

(4)期待値,極限 ☆☆★★★

(5)整式の余り ☆☆★★★

②重心,軌跡 ☆☆★★★

③(1)数列,漸化式 ☆☆★★★

(2) (1)と数列,数学的帰納法 ☆☆★★★

(3)不等式 ☆★★★★

④(1)座標,内心,有理数 ☆★★★★

(2) (1)と微分(Ⅲ),軌跡,(特性方程式,極座標) ★★★★★

⑤(1)数列 ☆☆★★★

(2)整数問題 ☆★★★★

(3)整数問題 ★★★★★

  • 解説

① (1)

(1,1)をC1,C2に代入する。(C2:y=a(x-a)^2+b)

1=a+b 1=a(1-a)^2+b

よってbを消去して、a=a(1-a)^2

a(1-(1-a)^2)=0

a^2(2-a)=0

aは放物線よりa≠0なのでa=2

これよりb=-1

∴(a,b)=(2,-1)

(2) x^2+y^2=1より三角関数を閃きます。

(x-y)(1+4xy)

=(x-y)(4(x^2+y^2+xy)-3)

=4(x^3-y^3)-3(x-y)

ここでx=cosθ,y=sinθとおくと

=4cos^3θ-3cosθ+3sinθ-4sin^3θ

=cos3θ+sin3θ

=√2sin(3θ+π/4)

3θ+π/4=π/2の時最大より

θ=π/12

x+y=sinπ/12+cosπ/12=√2sin(π/12+π/4)=√2sin(π/3)=√6/2

一般的な解法だと(こっちの方が応用性がある?)

(x-y)=tとおいて(1-t^2)/2=xyを導けば変数がひとつになる。これを微分して解きます。

f(t)=t(1+2(1-t^2))=-2t^3+3t

f'(t)=-6t^2+3

∴t=+-1/√2であるが最大値なのでt=1/√2

(x+y)^2=1+2xy=2-t^2=2-1/2=3/2

∴x+y=√3/√2=√6/2

(3) 1桁目と2桁目がともに0⇔2009をn^2で割り切れる

2009=7^2*41よりn=7に限る。

(4)1/2^2の確率で4個,1/3^2の確率で9個,…1/n^2の確率でn^2個,それ以外は1個ふる。

P(n)を直接求めます。1個のさいころを振った時の出る目の期待値が7/2であることを利用します。

P(n)=Σ[k=2,n]1/k^2*7/2*k^2 +(1-Σ[k=2,n]1/k^2)*7/2

=7/2(n-Σ[k=2,n]1/k^2)

P(n+2)-P(n-2)=7/2(n+2-Σ[k=2,n+2]1/k^2-(n-2)+Σ[k=2,n-2]1/k^2)=7/2(4-1/(n+2)^2-1/(n+1)^2-1/n^2-1/(n-1)^2)

P(n+1)-P(n-1)=7/2(n+1-Σ[k=2,n+1]1/k^2-(n-1)+Σ[k=2,n-1]1/k^2)=7/2(2-1/(n+1)^2-1/n^2)

これよりlim(n→∞)(P(n+2)-P(n-2))/(P(n+1)-P(n-1))

=lim(n→∞)(4-1/(n+2)^2-1/(n+1)^2-1/n^2-1/(n-1)^2)/(2-1/(n+1)^2-1/n^2)

=4/2=2

(一応示しておきますがΣ[k=2,n]1/k^2<Σ[k=2,n]1/k(k-1)=1-1/n<1 です。)

(5) x^n=(x^2+x+1)Q(x)+ax+bとおくと x=ω,x=ω^2の時x^2+x+1=0より

ω^n=aω+b

ω^2n=aω^2+bで

a(ω^2-ω)=ω^2n-ω^n=ω^n(ω^n-1)

n=3k+rで場合分け。

[1]r=1の時

a(ω^2-ω)=ω(ω-1)からa=1,b=0

[2]r=2の時

a(ω^2-ω)=ω^2(ω^2-1)からa=-1,b=-1

[3]r=0の時

a(ω^2-ω)=0からa=0,b=1

これらからa=bとなるのはr=2の時で

a=-1。

② あえて座標で解いてみる。B(b,0)C(0,c)として点Aの座標を求める。

点AはBCの垂直二等分線と直線aの交点だからBとCの中点を点Nとして

N(b/2,c/2),BCの傾きは-c/bより

直線ANはy=b/c(x-b/2)+c/2これよりA((b-c)/2+3c/(b+c),(c-b)/2+3b/(b+c))

また、AN:BC=√3:2より

4((3c/(b+c)-c/2)^2+(3b/(b+c)-b/2)^2)=3(b^2+c^2)

4(b^2+c^2)(3/(b+c)-1/2)^2=3(b^2+c^2) b^2+c^2≠0より

4(3/(b+c)-1/2)^2=3・・・①

G(X,Y)として、G(b+(b-c)/2+3c/(b+c))/3,(c+(c-b)/2+3b/(b+c))/3)より

X+Y=1+(b+c)/3

①より3/(b+c)=(1+-√3)/2から(b+c)/3=-1+-√3

これよりx+y=√3,0

正三角形はx+y=3の内部にあるから重心も内部にあるので

∴y=-x+√3 (0<x<3)

③ これは、見たことない漸化式?だとほとんどの人が思うはずです。

(漸化式?が二次式になっているので…)

(1)の誘導通りにある程度の項を調べてから一般項を求めます。

(1) A_2^2+2*A_2-1=0,A_n>0より

A_2=-1+√2

(√2-1)A_3^2+((√2-1)^2+1)A_3-(√2-1)=0

A_3^2+(4-2√2)/(√2-1)A_3-1=0

A_3^2+(2√2)A_3-1=0,A_n>0より

A_3=-√2+√3

(2)A_n=√n-√(n-1)であることが予想される。

A_1=√1-√0=1より成立。

A_k=√k-√(k-1)の成立を仮定して

(√k-√(k-1))A_(k+1)^2+((√k-√(k-1))^2+1)A_(k+1)-(√k-√(k-1))=0

A_(k+1)^2+(2k-2√k(k-1))(√k+√(k-1))A_k-1=0

A_(k+1)^2+2√k*A_(k+1)-1=0,A_n>0より

A_(k+1)=-√k +√(k+1)。

よって、数学的帰納法より示された。

これよりS_n=Σ[k=1,n]√k-√(k-1)=√n

(3)A_n≧1/√(an-1)を全ての自然数nで満たすためのaの最小値を求めよ。

さまざまな解法が考えられましたが、変形に工夫した

まず、根号の中は常に正であり、分母0であってはいけないからa>1。

√n-√(n-1)≧1/√(an-1)

これを変形すると

√(an-1)≧√n+√(n-1)

更に√n+√(n-1)=√(n+(n-1)+2√n(n-1))であり、両辺正だから両辺二乗して変形した

a≧(2n+2√n(n-1))/n=2+2√{(n-1)/n}=2+2√(1-1/n)を任意のnで満たせばよい。

ここで、右辺について、4>2+2√(1-1/n)よりa≧4であればよいので、a=4で最小。

④これは、初めてⅢ範囲が少し入ってる問題

(1)

tan(θ/4)=aと略記する。(0<a<1)

点Iを∠AOPと∠OAPの二等分線の交点という条件より、X座標を求める。

∠AOPの二等分線はy=tan(θ/2)x

∠OAPの二等分線はy=tan(135+θ/4)(x-1)より

X*2tan(θ/4)/(1-tan(θ/4)^2)=(tan135°+tanθ/4)/(1-tan135°*tanθ/4)(X-1)

2aX/(1-a^2)=(a-1)(X-1)/(1+a)

2aX=-(a-1)^2(X-1)

(a-1)^2=(a^2+1)X

X=(a-1)^2/(a^2+1)

これをY=2aX/(1-a^2)に代入して

Y=2a(1-a)/(a+1)(a^2+1)

X^2+Y^2=r^2

r^2=X^2(1+4a^2/(1-a^2)^2)

=X^2(a^2+1)^2/(1-a^2)^2

=(a-1)^4/(1-a^2)^2

=( (a-1)^2/(1-a^2))^2

r=(1-a)^2/(1-a)(1+a)=(1-a)/(1+a)=2/(1+a)-1

これよりaが有理数⇒rは有理数である。変形して

a=2/(1+r)-1

これよりrが有理数⇒aは有理数である。

よってrが有理数⇔tan(θ/4)が有理数

(2)

tan(θ/4)=aと略記する。(0<a<1)

点Iを∠AOPと∠OAPの二等分線の交点という条件より、X座標を求める。

∠AOPの二等分線はy=tan(θ/2)x

∠OAPの二等分線はy=tan(135+θ/4)(x-1)より

X*2tan(θ/4)/(1-tan(θ/4)^2)=(tan135°+tanθ/4)/(1-tan135°*tanθ/4)(X-1)

2aX/(1-a^2)=(a-1)(X-1)/(1+a)

2aX=-(a-1)^2(X-1)

(a-1)^2=(a^2+1)X

X=(a-1)^2/(a^2+1)

これをY=2aX/(1-a^2)に代入して

Y=2a(1-a)/(a+1)(a^2+1)

(1)から(a+1)r=(1-a)より

Y=2ar/(a^2+1)

∴Xr+Y=rからY/(1-X)=r

これより(Y/(1-X))^2=X^2+Y^2

変形してy^2=x^2/(1/(1-x)^2-1) 

軌跡は、y=(1-x)x/√(1-(1-x)^2)

yの最大となるxはy^2の値も最大にするので

f(x)=y^2=x(1-x)^2/(2-x)で考える。

f'(x)=((x(1-x)^2)'(2-x)-x(1-x)^2*(2-x)')/(2-x)^2

以下分子の部分(以下g(x))のみ考える

(x(1-x)^2)'=(1-x)^2-2x(1-x)=(1-x)(1-3x)で

g(x)=(1-x)(1-3x)(2-x)+x(1-x)^2=(1-x)( (1-3x)(2-x)+x(1-x))

=(1-x)(3x^2-7x+2+x-x^2)=(1-x)(2x^2-6x+2)=2(1-x)(x^2-3x+1)

x^2-3x+1の解はx=(3+-√5)/2で0<x<1でありx=(3-√5)/2の時に極大かつ最大である。

∴x=(3-√5)/2

(2)【別解】

r=(1-tan(θ/4))/(1+tan(θ/4))より

Y=f(θ)=sin(θ/2)rでθ/4=φとして

f(φ)=sin2φ(cosφ-sinφ)/(cosφ+sinφ)

f'(φ)={(2cos2φ(cosφ-sinφ)+sin2φ(-sinφ-cosφ))(cosφ+sinφ)-sin2φ(cosφ-sinφ)^2}/(cosφ+sinφ)^2

=((2cos2φ(cosφ-sinφ)(cosφ+sinφ)-2sin2φ)/(cosφ+sinφ)^2

=2(1-(sin2φ)^2-sin2φ)/(cosφ+sinφ)^2

=-2((sin2φ)^2+1sin2φ-1)/(cosφ+sinφ)^2

(sin2φ)^2+sin2φ-1=0はsin2φ=(-1+-√5)/2で

増減表等を考えるとsin2φ=(-1+√5)/2で最大で

sin(θ/2)=(-1+√5)/2だからcos(θ/2)=((√5-1)/2)^(1/2)。

(-1+√5)/2=ωとおくと

cos^2(θ/4)-sin^2(θ/4)=ω^(1/2)より

cos(θ/4)-sin(θ/4)=ω^(1/2)/(sin(θ/4)+cos(θ/4))なので

r=ω^(1/2)/ *1 ^2

=ω^(1/2)/(1+sin(θ/2))=ω^(1/2)/(1+ω)より

X=cos(θ/2)r=ω/(1+ω)=(√5-1)/(√5+1)=((√5-1)/2)^2=(3-√5)/2

(補足X=ω^2,r=ω^(3/2),Y=ω^(5/2)となります。)

⑤普通の三項間漸化式の問題を出そうと思ったんですけど、それだとつまんないから少しアレンジ。A_(n+2)=4(A_n-A_(n-2))と項が一つ開いてますが・・

(1)

(ⅰ)n=2mの時

A_2(m+1)=4A_2m-4A_2(m-1)となり、わかりやすくするためにB_(m+1)=A_2(m+1)とでもおくと

B_(m+1)=4B_m-4B_(m-1)と普通の三項間漸化式に帰着する。(B_1=2,B_2=4)

B_(m+1)-2B_m=2(B_m-2B_(m-1))=2^(m-1)(B_2-2B_1)=0

よって、B_(m+1)=2B_m=2^m*B_1=2^(m+1)よりA_2m=2^m

(ⅱ)n=2m-1の時

A_(2(m+1)-1)=4A_(2m-1)-4A_(2(m-1)-1)となりA_(2m-1)=C_mとおくと

C_(m+1)=4C_m-4C_(m-1)と(ⅰ)と同様に一般的な三項間漸化式に帰着する。(C_1=1,C_2=2)

C_(m+1)-2C_m=2(C_m-2C_(m-1))=2^(m-1)(C_2-2C_1)=0

∴C_m=2*C_(m-1)=2^(m-1)*C_1=2^(m-1)よりA_(2m-1)=2^(m-1)

(余談ですが、A_nをまとめると右のようになります。A_n=2^( (n-3)/2)*(3+(-1)^n))

上記の結果から

Σ[k=1,2n]A_k=Σ[k=1,n]A_2k+Σ[k=1,n]A_(2k-1)

=Σ[k=1,n]2^k+Σ[k=1,n]2^(k-1)

=2^(n+1)-1+2^n

=2^(n+1)+2^n-1

=3*2^n-1

(2)(α)S_2nが平方数であるような自然数nを全て求めよ。

(β)S_2nが立方数(ある自然数を3乗してあらわせる数)であるような自然数nを全て求めよ。

(α) これは、平方数と三の倍数の関係をを知っていないと解くのはつらいです。

nが3で割り切れない数の時n^2は3で割って1余る…(*)

これを使います。

(*)より3*2^n-1=3k+1(kは整数)と表されるはずだが右辺と左辺の余りが一致せず矛盾。

これより、S_2nは平方数になりません。

(β) 3*2^n-1=m^3とおくと

3*2^n=(m+1)(m^2-m+1)=(m+1)((m+1)^2-3(m+1)+3)

m+1が3の倍数の時はm^2-m+1も3の倍数より左辺に一致しない。

しかしm+1が3の倍数でない時はm^2-m+1も3の倍数でないため左辺に一致しない。

よって、S_2nは立方数にもならない。

(3)3*2^n-1=m^k…(*)

kは(2)より3の倍数でない奇数としてよい。…①

またmが偶数なら左辺奇数、右辺偶数より不適なのでmは奇数。…②

これらより(*)は、

3*2^n=(m+1)(m^(k-1)-m^(k-2)+…+1)と因数分解される。

これより、m+1=2^bまたはm+1=3*2^bとあらわせる。

(ⅰ)m+1=2^bの時

3*2^n=(2^b-1)^k+1=2^b(2^b(k-1)-…+k)と変形されて(2^b(k-1)-…+k)は①より奇数で

右辺と左辺の2の次数で比較してn=b。

これより3*2^n-1=(2^n-1)^kと表せる。

n=1では左辺=5,右辺=1で不適。

n=2の時左辺=11。右辺=3^kで

k≧5においては、n≧3について右辺>左辺であるためこの場合に満たすm,kはない。

(ⅱ)m+1=3*2^bの時

3*2^n=(3*2^b-1)^k+1=3*2^b(2^b(k-1)+…+k)と変形されて(2^b(k-1)+…+k)は①より奇数で

右辺と左辺の2の次数を比較してn=b。

これより3*2^n-1=(3*2^n-1)^k

(3*2^n-1)((3*2^n-1)^(k-1)-1)=0

3*2^n-1≧5より3*2^n-1≠0でa≧5から(3*2^n-1)^(k-1)-1≠0であるため

k≧5においては右辺>左辺であるからこの場合に満たすm,kはない。

よって、m^kの形で表される(m,k)の組はk≧5において存在しない。

これらの結果からS_2n≠m^k(m,k∈N)となることも証明されました。

  • 感想
    • 今回は軌跡の問題を2題出してみました。
    • ④は普通にやろうとしても上手くやるのが難しく巧く軌跡を求めるか、極座標表示等でやらないと

奈落の底を歩き続けることも…(実際自分自身がそうだった)

  • 前回よりも作成期間が長かったため、問題の内容も難しくなってると思います。
  • 難易度設定ですが、★3問題を全てとると平均くらいだと考えてますがどうだったでしょうか。
  • また、途中から①(5)と⑤を追加しました。
  • 配点ですが、①40点②20点③40点④50点⑤50点と②の配点がやけに少ないのは、

   色々と解法が考えられそうだったから小問をあえてつけなかったからです。

  • ①みたいな小問集合は、②~⑤で出題されなかったような部分を少し補うためにだしてみました。
  • 発展問題(④より)
    ④の問題について△OAPの垂心Hについての軌跡を求めよ。
    

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