②y=-x+√3
③(1)√3-√2 (2)√n (3)4
④(1)4 (2)(3-√5)/2
⑤(1)2^(n+1)+2^n-1 (2)(α)なし(β)なし (3)なし(証明は解説参照)
(2)三角関数,合成,三倍角の公式(微分) ☆☆★★★
(3)n進数 ☆☆☆☆★
(4)期待値,極限 ☆☆★★★
(5)整式の余り ☆☆★★★
②重心,軌跡 ☆☆★★★
③(1)数列,漸化式 ☆☆★★★
(2) (1)と数列,数学的帰納法 ☆☆★★★
(3)不等式 ☆★★★★
④(1)座標,内心,有理数 ☆★★★★
(2) (1)と微分(Ⅲ),軌跡,(特性方程式,極座標) ★★★★★
⑤(1)数列 ☆☆★★★
(2)整数問題 ☆★★★★
(3)整数問題 ★★★★★
(1,1)をC1,C2に代入する。(C2:y=a(x-a)^2+b)
1=a+b 1=a(1-a)^2+b
よってbを消去して、a=a(1-a)^2
a(1-(1-a)^2)=0
a^2(2-a)=0
aは放物線よりa≠0なのでa=2
これよりb=-1
∴(a,b)=(2,-1)
(2) x^2+y^2=1より三角関数を閃きます。
(x-y)(1+4xy)
=(x-y)(4(x^2+y^2+xy)-3)
=4(x^3-y^3)-3(x-y)
ここでx=cosθ,y=sinθとおくと
=4cos^3θ-3cosθ+3sinθ-4sin^3θ
=cos3θ+sin3θ
=√2sin(3θ+π/4)
3θ+π/4=π/2の時最大より
θ=π/12
x+y=sinπ/12+cosπ/12=√2sin(π/12+π/4)=√2sin(π/3)=√6/2
一般的な解法だと(こっちの方が応用性がある?)
(x-y)=tとおいて(1-t^2)/2=xyを導けば変数がひとつになる。これを微分して解きます。
f(t)=t(1+2(1-t^2))=-2t^3+3t
f'(t)=-6t^2+3
∴t=+-1/√2であるが最大値なのでt=1/√2
(x+y)^2=1+2xy=2-t^2=2-1/2=3/2
∴x+y=√3/√2=√6/2
(3) 1桁目と2桁目がともに0⇔2009をn^2で割り切れる
2009=7^2*41よりn=7に限る。
(4)1/2^2の確率で4個,1/3^2の確率で9個,…1/n^2の確率でn^2個,それ以外は1個ふる。
P(n)を直接求めます。1個のさいころを振った時の出る目の期待値が7/2であることを利用します。
P(n)=Σ[k=2,n]1/k^2*7/2*k^2 +(1-Σ[k=2,n]1/k^2)*7/2
=7/2(n-Σ[k=2,n]1/k^2)
P(n+2)-P(n-2)=7/2(n+2-Σ[k=2,n+2]1/k^2-(n-2)+Σ[k=2,n-2]1/k^2)=7/2(4-1/(n+2)^2-1/(n+1)^2-1/n^2-1/(n-1)^2)
P(n+1)-P(n-1)=7/2(n+1-Σ[k=2,n+1]1/k^2-(n-1)+Σ[k=2,n-1]1/k^2)=7/2(2-1/(n+1)^2-1/n^2)
これよりlim(n→∞)(P(n+2)-P(n-2))/(P(n+1)-P(n-1))
=lim(n→∞)(4-1/(n+2)^2-1/(n+1)^2-1/n^2-1/(n-1)^2)/(2-1/(n+1)^2-1/n^2)
=4/2=2
(一応示しておきますがΣ[k=2,n]1/k^2<Σ[k=2,n]1/k(k-1)=1-1/n<1 です。)
(5) x^n=(x^2+x+1)Q(x)+ax+bとおくと x=ω,x=ω^2の時x^2+x+1=0より
ω^n=aω+b
ω^2n=aω^2+bで
a(ω^2-ω)=ω^2n-ω^n=ω^n(ω^n-1)
n=3k+rで場合分け。
[1]r=1の時
a(ω^2-ω)=ω(ω-1)からa=1,b=0
[2]r=2の時
a(ω^2-ω)=ω^2(ω^2-1)からa=-1,b=-1
[3]r=0の時
a(ω^2-ω)=0からa=0,b=1
これらからa=bとなるのはr=2の時で
a=-1。
② あえて座標で解いてみる。B(b,0)C(0,c)として点Aの座標を求める。
点AはBCの垂直二等分線と直線aの交点だからBとCの中点を点Nとして
N(b/2,c/2),BCの傾きは-c/bより
直線ANはy=b/c(x-b/2)+c/2これよりA((b-c)/2+3c/(b+c),(c-b)/2+3b/(b+c))
また、AN:BC=√3:2より
4((3c/(b+c)-c/2)^2+(3b/(b+c)-b/2)^2)=3(b^2+c^2)
4(b^2+c^2)(3/(b+c)-1/2)^2=3(b^2+c^2) b^2+c^2≠0より
4(3/(b+c)-1/2)^2=3・・・①
G(X,Y)として、G(b+(b-c)/2+3c/(b+c))/3,(c+(c-b)/2+3b/(b+c))/3)より
X+Y=1+(b+c)/3
①より3/(b+c)=(1+-√3)/2から(b+c)/3=-1+-√3
これよりx+y=√3,0
正三角形はx+y=3の内部にあるから重心も内部にあるので
∴y=-x+√3 (0<x<3)
③ これは、見たことない漸化式?だとほとんどの人が思うはずです。
(漸化式?が二次式になっているので…)
(1)の誘導通りにある程度の項を調べてから一般項を求めます。
(1) A_2^2+2*A_2-1=0,A_n>0より
A_2=-1+√2
(√2-1)A_3^2+((√2-1)^2+1)A_3-(√2-1)=0
A_3^2+(4-2√2)/(√2-1)A_3-1=0
A_3^2+(2√2)A_3-1=0,A_n>0より
A_3=-√2+√3
(2)A_n=√n-√(n-1)であることが予想される。
A_1=√1-√0=1より成立。
A_k=√k-√(k-1)の成立を仮定して
(√k-√(k-1))A_(k+1)^2+((√k-√(k-1))^2+1)A_(k+1)-(√k-√(k-1))=0
A_(k+1)^2+(2k-2√k(k-1))(√k+√(k-1))A_k-1=0
A_(k+1)^2+2√k*A_(k+1)-1=0,A_n>0より
A_(k+1)=-√k +√(k+1)。
よって、数学的帰納法より示された。
これよりS_n=Σ[k=1,n]√k-√(k-1)=√n
(3)A_n≧1/√(an-1)を全ての自然数nで満たすためのaの最小値を求めよ。
さまざまな解法が考えられましたが、変形に工夫した
まず、根号の中は常に正であり、分母0であってはいけないからa>1。
√n-√(n-1)≧1/√(an-1)
これを変形すると
√(an-1)≧√n+√(n-1)
更に√n+√(n-1)=√(n+(n-1)+2√n(n-1))であり、両辺正だから両辺二乗して変形した
a≧(2n+2√n(n-1))/n=2+2√{(n-1)/n}=2+2√(1-1/n)を任意のnで満たせばよい。
ここで、右辺について、4>2+2√(1-1/n)よりa≧4であればよいので、a=4で最小。
④これは、初めてⅢ範囲が少し入ってる問題
(1)
tan(θ/4)=aと略記する。(0<a<1)
点Iを∠AOPと∠OAPの二等分線の交点という条件より、X座標を求める。
∠AOPの二等分線はy=tan(θ/2)x
∠OAPの二等分線はy=tan(135+θ/4)(x-1)より
X*2tan(θ/4)/(1-tan(θ/4)^2)=(tan135°+tanθ/4)/(1-tan135°*tanθ/4)(X-1)
2aX/(1-a^2)=(a-1)(X-1)/(1+a)
2aX=-(a-1)^2(X-1)
(a-1)^2=(a^2+1)X
X=(a-1)^2/(a^2+1)
これをY=2aX/(1-a^2)に代入して
Y=2a(1-a)/(a+1)(a^2+1)
X^2+Y^2=r^2
r^2=X^2(1+4a^2/(1-a^2)^2)
=X^2(a^2+1)^2/(1-a^2)^2
=(a-1)^4/(1-a^2)^2
=( (a-1)^2/(1-a^2))^2
r=(1-a)^2/(1-a)(1+a)=(1-a)/(1+a)=2/(1+a)-1
これよりaが有理数⇒rは有理数である。変形して
a=2/(1+r)-1
これよりrが有理数⇒aは有理数である。
よってrが有理数⇔tan(θ/4)が有理数
(2)
tan(θ/4)=aと略記する。(0<a<1)
点Iを∠AOPと∠OAPの二等分線の交点という条件より、X座標を求める。
∠AOPの二等分線はy=tan(θ/2)x
∠OAPの二等分線はy=tan(135+θ/4)(x-1)より
X*2tan(θ/4)/(1-tan(θ/4)^2)=(tan135°+tanθ/4)/(1-tan135°*tanθ/4)(X-1)
2aX/(1-a^2)=(a-1)(X-1)/(1+a)
2aX=-(a-1)^2(X-1)
(a-1)^2=(a^2+1)X
X=(a-1)^2/(a^2+1)
これをY=2aX/(1-a^2)に代入して
Y=2a(1-a)/(a+1)(a^2+1)
(1)から(a+1)r=(1-a)より
Y=2ar/(a^2+1)
∴Xr+Y=rからY/(1-X)=r
これより(Y/(1-X))^2=X^2+Y^2
変形してy^2=x^2/(1/(1-x)^2-1)
軌跡は、y=(1-x)x/√(1-(1-x)^2)
yの最大となるxはy^2の値も最大にするので
f(x)=y^2=x(1-x)^2/(2-x)で考える。
f'(x)=((x(1-x)^2)'(2-x)-x(1-x)^2*(2-x)')/(2-x)^2
以下分子の部分(以下g(x))のみ考える
(x(1-x)^2)'=(1-x)^2-2x(1-x)=(1-x)(1-3x)で
g(x)=(1-x)(1-3x)(2-x)+x(1-x)^2=(1-x)( (1-3x)(2-x)+x(1-x))
=(1-x)(3x^2-7x+2+x-x^2)=(1-x)(2x^2-6x+2)=2(1-x)(x^2-3x+1)
x^2-3x+1の解はx=(3+-√5)/2で0<x<1でありx=(3-√5)/2の時に極大かつ最大である。
∴x=(3-√5)/2
(2)【別解】
r=(1-tan(θ/4))/(1+tan(θ/4))より
Y=f(θ)=sin(θ/2)rでθ/4=φとして
f(φ)=sin2φ(cosφ-sinφ)/(cosφ+sinφ)
f'(φ)={(2cos2φ(cosφ-sinφ)+sin2φ(-sinφ-cosφ))(cosφ+sinφ)-sin2φ(cosφ-sinφ)^2}/(cosφ+sinφ)^2
=((2cos2φ(cosφ-sinφ)(cosφ+sinφ)-2sin2φ)/(cosφ+sinφ)^2
=2(1-(sin2φ)^2-sin2φ)/(cosφ+sinφ)^2
=-2((sin2φ)^2+1sin2φ-1)/(cosφ+sinφ)^2
(sin2φ)^2+sin2φ-1=0はsin2φ=(-1+-√5)/2で
増減表等を考えるとsin2φ=(-1+√5)/2で最大で
sin(θ/2)=(-1+√5)/2だからcos(θ/2)=((√5-1)/2)^(1/2)。
(-1+√5)/2=ωとおくと
cos^2(θ/4)-sin^2(θ/4)=ω^(1/2)より
cos(θ/4)-sin(θ/4)=ω^(1/2)/(sin(θ/4)+cos(θ/4))なので
r=ω^(1/2)/(*1)^2
=ω^(1/2)/(1+sin(θ/2))=ω^(1/2)/(1+ω)より
X=cos(θ/2)r=ω/(1+ω)=(√5-1)/(√5+1)=((√5-1)/2)^2=(3-√5)/2
(補足X=ω^2,r=ω^(3/2),Y=ω^(5/2)となります。)
⑤普通の三項間漸化式の問題を出そうと思ったんですけど、それだとつまんないから少しアレンジ。A_(n+2)=4(A_n-A_(n-2))と項が一つ開いてますが・・
(1)
(ⅰ)n=2mの時
A_2(m+1)=4A_2m-4A_2(m-1)となり、わかりやすくするためにB_(m+1)=A_2(m+1)とでもおくと
B_(m+1)=4B_m-4B_(m-1)と普通の三項間漸化式に帰着する。(B_1=2,B_2=4)
B_(m+1)-2B_m=2(B_m-2B_(m-1))=2^(m-1)(B_2-2B_1)=0
よって、B_(m+1)=2B_m=2^m*B_1=2^(m+1)よりA_2m=2^m
(ⅱ)n=2m-1の時
A_(2(m+1)-1)=4A_(2m-1)-4A_(2(m-1)-1)となりA_(2m-1)=C_mとおくと
C_(m+1)=4C_m-4C_(m-1)と(ⅰ)と同様に一般的な三項間漸化式に帰着する。(C_1=1,C_2=2)
C_(m+1)-2C_m=2(C_m-2C_(m-1))=2^(m-1)(C_2-2C_1)=0
∴C_m=2*C_(m-1)=2^(m-1)*C_1=2^(m-1)よりA_(2m-1)=2^(m-1)
(余談ですが、A_nをまとめると右のようになります。A_n=2^( (n-3)/2)*(3+(-1)^n))
上記の結果から
Σ[k=1,2n]A_k=Σ[k=1,n]A_2k+Σ[k=1,n]A_(2k-1)
=Σ[k=1,n]2^k+Σ[k=1,n]2^(k-1)
=2^(n+1)-1+2^n
=2^(n+1)+2^n-1
=3*2^n-1
(2)(α)S_2nが平方数であるような自然数nを全て求めよ。
(β)S_2nが立方数(ある自然数を3乗してあらわせる数)であるような自然数nを全て求めよ。
(α) これは、平方数と三の倍数の関係をを知っていないと解くのはつらいです。
nが3で割り切れない数の時n^2は3で割って1余る…(*)
これを使います。
(*)より3*2^n-1=3k+1(kは整数)と表されるはずだが右辺と左辺の余りが一致せず矛盾。
これより、S_2nは平方数になりません。
(β) 3*2^n-1=m^3とおくと
3*2^n=(m+1)(m^2-m+1)=(m+1)((m+1)^2-3(m+1)+3)
m+1が3の倍数の時はm^2-m+1も3の倍数より左辺に一致しない。
しかしm+1が3の倍数でない時はm^2-m+1も3の倍数でないため左辺に一致しない。
よって、S_2nは立方数にもならない。
(3)3*2^n-1=m^k…(*)
kは(2)より3の倍数でない奇数としてよい。…①
またmが偶数なら左辺奇数、右辺偶数より不適なのでmは奇数。…②
これらより(*)は、
3*2^n=(m+1)(m^(k-1)-m^(k-2)+…+1)と因数分解される。
これより、m+1=2^bまたはm+1=3*2^bとあらわせる。
(ⅰ)m+1=2^bの時
3*2^n=(2^b-1)^k+1=2^b(2^b(k-1)-…+k)と変形されて(2^b(k-1)-…+k)は①より奇数で
右辺と左辺の2の次数で比較してn=b。
これより3*2^n-1=(2^n-1)^kと表せる。
n=1では左辺=5,右辺=1で不適。
n=2の時左辺=11。右辺=3^kで
k≧5においては、n≧3について右辺>左辺であるためこの場合に満たすm,kはない。
(ⅱ)m+1=3*2^bの時
3*2^n=(3*2^b-1)^k+1=3*2^b(2^b(k-1)+…+k)と変形されて(2^b(k-1)+…+k)は①より奇数で
右辺と左辺の2の次数を比較してn=b。
これより3*2^n-1=(3*2^n-1)^k
(3*2^n-1)((3*2^n-1)^(k-1)-1)=0
3*2^n-1≧5より3*2^n-1≠0でa≧5から(3*2^n-1)^(k-1)-1≠0であるため
k≧5においては右辺>左辺であるからこの場合に満たすm,kはない。
よって、m^kの形で表される(m,k)の組はk≧5において存在しない。
これらの結果からS_2n≠m^k(m,k∈N)となることも証明されました。
④の問題について△OAPの垂心Hについての軌跡を求めよ。
+ | ... |
*1 sin(θ/4)+cos(θ/4