12230007

NO.7-1 確率の最大値 ～難易度☆☆★★★

問題

131 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/17(土) 22:50:11.48 ID:Qr7cRBa60

   ビンが2本と玉が100個ある。100個の玉のうち、50個は赤玉であり、50個は白玉だ。
   ビンの内、一方を無作為に選ぶとする。
   さらに、ビンから玉を無作為に一つ取り出す。
   この時、赤玉を引く確率を最大にするには、玉はどのように分ければいいか？
   また、その場合、赤玉を引く確率はいくらか？
   ただし、玉は全てビンの中に入ってなければならない。 

解答

...

74/99が最大で赤1個白0個と赤49個,白50個

解説

ビンをA,Bと定めてAに赤玉をx個、白玉をy個入れるものとする。

この時の赤玉を選ぶ確率は

x/2(x+y)+(50-x)/2(100-(x+y))

=1/2( (x(100-(x+y))+(50-x)(x+y))/(x+y)(100-(x+y)))

=( (25-x)(x+y)+50x)/(x+y)(100-(x+y))

x+y=kと固定して0≦x≦k≦100より

(25-x)k+50x=25k+(50-k)x

これよりx=kの時に最大となる。∴y=0

この時x＝0であると0/0になるからx≠0の場合で考える。

( (25-x)(x+y)+50x)/(x+y)(100-(x+y))

=((25-x)x+50x)/x(100-x)

=(75-x)/(100-x)

=((100-x)-25)/(100-x)

=1-25/(100-x) x≧1より

x=1の時　74/99

またx=0の時は

50/100=1/2。

∴74/99が最大でA赤1個白0個 Ｂ赤49個,白50個

7-2　確率の最大値2　★３

問題

28 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2010/01/07(木) 00:18:56.96 ID:1rZgSAg70
   10本のくじの中に当たりが２本ある
   引いたくじは毎回元に戻すとして、３回あたりが出るまでくじを引く
   n回目で終わる確率をPnとするとき
   Pnが最大となるnを求めよ

解答

...

n=10,11

解説

当たりの確率は、1/5

以下n≧3としてn回目で終わる時の条件を整理すると

n-1回目までに２回当たっててn回目に３回目が当たるということなので

Pn＝{(n-1)C2*(1/5)^2*(4/5)^(n-3)}×1/5

=1/2*(1/5)^3*(4/5)^(n-3)*(n-1)*(n-2)

Pn+1-PnもしくはPn+1/Pnで考える

Pn+1/Pn=4/5*n/(n-2)

n≧11の時Pn+1/Pn≦44/45＜1よりPn+1＜Pn

n=10の時Pn+1/Pn=1よりPn+1=Pn

n≦9の時Pn+1/Pn≧36/35＞1よりPn+1＞Pn

∴P1＜…＜P10＝P11＞P12＞…

よって、n=10,11