12230008

NO.8-1 確率と漸化式 ～難易度☆★★★★

問題

 48 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/11(日) 01:09:15.72 ID:VsMfT0Ex0
   1～6までの目があるサイコロを5n個振ったとき
   目の和が5の倍数となる確率を求めよ。 

解答

...

1/5+(1/6^5)^n*4/5

解説

この問題は、簡単そうで意外と面倒な問題です。

k回ふった時について考えてみましょう。

ここでは、k回振った時の目の和が

5の倍数の確率をA_k

5の倍数+1の確率をB_k…以降同様にさだめる。

A_k+B_k+C_k+D_k+E_k=1となることと

A_(k+1)=(A_k+B_k+C_k+D_k+2E_k)/6が成り立つことより

=(1+E_k)/6で同様にして

E_(k+1)=(1+D_k)/6等が成立する。 ∴A_k=(7+D_(k-2))/36

=(43+C_(k-3))/216

=(259+B_(k-4))/6^4

=(259*6+1+A_(k-5))/6^5

=(1555+A_(k-5))/6^5

k=5nを代入して変形

(A_5n-1/5)=1/6^5(A_(5n-5)-1/5)より

A_5n=1/5+(1/6^5)^(n-1)(A_5-1/5)

A_5を求める。

A_5=(259+1/3)/6^4

=778/3*6^4

=389/3^5*2^3

∴A_5n=1/5+(1/6^5)^(n-1)(389/3^5*2^3-1/5)

=1/5+(1/6^5)^(n-1)(1/3^5*2^3*5)

=1/5+(1/6^5)^n*4/5

と面倒な計算がここまで上手くまとまります。

• 補足 これは別にA_5nじゃないと求まらない訳ではありませんが

5nの場合だけが特別な漸化式になっているので問題がこうなっています。

NO.8-2 接続と切断1

問題(出題者のレスを元に誘導追加)

(1)
すべての辺が導線でできた正四面体を考える
ある二点に電源を繋げる。
各辺ごとに一回ずつ確率ｐで表が出るコインを投げて裏なら導線を切る
この操作が終わった後に電流が流れる確率を求めよ 
(2)
321 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/20(金) 00:15:59.72 ID:sc1vJBg80
   すべての辺が導線でできた立方体を考える
   ある一つの頂点とそこから最も遠い頂点に電源を繋げる
   各辺ごとに一回ずつ確率ｐで表が出るコインを投げて裏なら導線を切る
   この操作が終わった後に電流が流れる確率を求めよ 

解答

...

解説