12130002

2-1 二倍角,三倍角の公式 ~難易度☆☆★★★

問題

 1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/02/01(日) 22:40:28.97 ID:GToUrrL6O
   sinX+sin2X+sin3X+sin4X=0
   (0°≦X≦90゜)
  • 補足
    • Xの値を全て求めよ。

解答

+...

X=0°,72°,90°

解説

sinX+sin2X+sin3X+sin4X=0

sinX+2sinXcosX+(3sinX-4(sinX)^3)+2sin2Xcos2X=0←三倍角二倍角の公式を適宜用いる。

sinX+2sinXcosX+(3sinX-4(sinX)^3)+4sinXcosXcos2X=0←同様に。

sinX(1+2cosX+3-4(sinX)^2+4cosXcos2X)=0

sinX(4cosX(2(cosX)^2-1)+4+2cosX-4(1-(cosX)^2))=0

sinX(8(cosX)^3+4(cosX)^2-2)=0

sinXcosX(4(cosX)^2+2cosX-1)=0

sinX=0⇔X=0°,cosX=0⇔X=90°でこれ以外を考える。

4(cosX)^2+2cosX-1=0

cosX=(-1+-√5)/4

0≦X≦90°よりcosX≧0だから

cosX=(-1+√5)/4

でこれは特別角であってX=72°となります。

公式

  • 加法定理
    sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα
    cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
    
    • この証明は、今度として公式だけ紹介しておいた。
    • α=βとすることで二倍角の公式が導ける。
    • α=2βとすることで三倍角の公式が導ける。
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