数学の問題集 in VIP@wiki
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数学の問題集 in VIP@wiki
ja
2023-10-05T17:43:20+09:00
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整数問題
https://w.atwiki.jp/524287/pages/143.html
*[[NO.12110000 未解決未分類 >12110000]]
*[[NO.12110001 有理数 >12110001]]?-6問
*[[NO.12110002 素数判定 >12110002]]?-1問
*[[NO.12110003 分数の整数問題 >12110003]]-2問
*[[NO.12110004 大小比較の問題 >12110004]]-2問
*[[NO.12110005 メルセンヌ素数 >12110005]]-1問
*[[NO.12110006 整数による制約と整数の論証 >12110006]]-3問
*[[NO.12110007 最小公倍数と最大公約数 >12110007]]-1問
*[[NO.12110008 約数の総和 >12110008]]-2問
*[[NO.12110009 因数分解,互いに素 >12110009]]-9問
*[[NO.12110010 整数部分,小数部分 >12110010]]-1問
*[[NO.12110011 カタラン予想? >12110011]]?-3問
*[[NO.12110012 合同式と倍数の条件 >12110012]]-5問
*[[NO.12110013 n進法 >12110013]]-1問
*[[NO.12110014 各桁の和 >12110014]]-1問
*[[NO.12110015 ユークリッドの互除法 >12110015]]-1問
*[[NO.12110016 ペル方程式 >12110016]]-1問
[[整数>https://seisu.kansuji.com/]]
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論理パズル
https://w.atwiki.jp/524287/pages/15.html
*NO.1 囚人の問題(現在、画像が見れません) ~難易度☆☆☆★★
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**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/25(土) 15:58:28.10 ID:5I6I7NRy0
囚人が4人、図のような配置で密室に閉じ込められている。
4人の囚人にはそれぞれ赤の帽子2つ、白の帽子2つのうちどちらか一つがかぶせられ、
囚人達には自分がどの色の帽子をかぶせられているかはわからない。
囚人Aは、他の3人とは壁で隔離されている。
囚人B、C、Dは図のような形(階段)で配置されている。
それぞれの向いている方向は、帽子のつばの方向である。
このような状況の中、誰か1人でも自分の帽子の色を言い当てられれば全員釈放されるという。
なお、囚人同士がコンタクトを取ることは禁止されていて、歩いたり振り向いたりしてもいけない。
自分の帽子の色を確実に答えられる囚人が1人いる。それは誰か?
#image(http://sageuploader.if.land.to/cgi-bin/1upload/src/sage1_7276.bmp)
**解答
#region
2 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/25(土) 16:04:06.01 ID:LLycoVswO
&bold(){Dが答えなければBCは赤白、白赤のどっちかだからCがBの帽子を見ればいい}
**解説
Dは、BとCの帽子の色が見えるのでDが一番他の人の帽子の色が把握できるのでDを中心に考える。
Dがはっきりと答えられる時、BとCが同じ色である必要がある。
もし、BとCが違う色の帽子だとDは、赤の可能性も白の可能性もある。
逆に言えば、Dがはっきりと答えられない時は、BとCが違う色の帽子だということが分かる。
ここで、CがBの帽子の色をみることが出来るからCが正確な色を答えることが出来る。
この問題で、重要な所は、答えられない時という場合を考えること。
答えられる人を答える問題で答えられない場合という裏の事象を考えることが、ポイント。
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#endregion
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*NO.1-2 囚人問題の拡張 ~難易度☆★★★★
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**問題
15 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/25(土) 16:40:26.40 ID:I6O875Gd0
赤色の帽子と白色の帽子が無数に用意されていると考えよう。
そしてとあるパーティーに参加した人全員に、
どちらかの帽子を自分の帽子の色が見えないようにかぶせた。
そして「少なくとも一人は赤色の帽子をしている。」
というヒントを全員に言い、自分の帽子の色を推測してもらった。
そしてしばらくすると全員が「自分は赤色の帽子をしている。」と答えた。
さてこのパーティーに参加している人は最大で何人か。また、
その場合どう推理して自分の帽子の色を導きだしたか答えなさい。
**予想解答
#region
何人でも出来る。
**予想解説
小さい数で検証すると
一人→明らか。
二人→二人とも答えられないなら互いに赤色であると分かる。
三人→左からABCとして白白赤の時、Cの人が答えることが出来る。
また、白赤赤の時、Cの人が答えられないのでBが赤と答えられる。
もし、赤赤赤の時、BもCも答えないためAが赤であると分かる。対称性からBとCも答えられる。
n人→A1,A2,A3,…,Anとする。
それらn個の内、A1~Ak人までが赤い帽子だとする。
K=1の時、A1が赤い帽子だとわかる。
K=2の時、A1が赤い帽子だと答えられないためA2が赤い帽子だとわかる。(同様に、A1もわかる)
K=3の時、A1,A2が赤い帽子だと答えられないためA3が赤い帽子だとわかる。(同様にA1,A2もわかる)
同様にして、K=nの時、Anが答えられる。(同様にA1~Anもわかる)
また、この時Anを基準に考えるのと他のAkを基準に考えるのは、同じことなので全ての人が答えることが出来る。
任意のnについていえるので、何人でも出来る。
#endregion
#endregion
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*NO.2 サミットなぞなぞ ~難易度☆☆☆☆★
#region
**問題
18 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/25(土) 16:45:06.57 ID:izYeSP9G0
世界金融サミットの途中、地震が起こった。
この中で真っ先に『助けて!』と叫んだのはどこの国の代表?
#region
**解答
日本
**解説
真っ先に飛び出す言葉が、日本語であるということは母国語が日本語であるはずである。
故に日本。
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#endregion
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*NO.3 幼女問題
#region
**問題
31 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/25(土) 17:58:45.05 ID:AfEwRMHPO
線分ABの間に同じ学校で同学年の5人の幼女が、AかBの方向を向いて立っている。
幼女は自分が何組かは知らないが、自分より前にいる幼女が何組かは知らされている。
幼女は自分が何組か確実にわかったら次の日に学校に来てはいけないが、
わからなかったら次の日も学校に 来て前日と同じ場所で同じ方向を向かなければならない。
幼女は各組から1人以上来てることを初日に知らされている。
その他にも5人がどちらの方向を向いているかと、その日に誰が来ているかがわかるが、
それ以外の情報は 伝わらないとする。
5人の幼女は自分の学年に何組まであるのか知らないのに、2日目以降一人ずつ減っていき
6日目に誰も来なくなった。
5人の幼女がかなり頭が良く、全員確実にわかったから来なかったとして、
幼女はそれぞれ何組でどちらの方向を向いていたか。
ただし幼女は組が数字で連番であるということを知っていたものとする。
**解答
#region
24351
42315
→→→←←
a c e d b
数字=組
矢印=向き
アルファベット=順番
上記の解は2-6組などの場合も考慮しているものと思われる。以下は1組から連番だと仮定した場合の解。
「幼女は各組から1人以上来てる」をどう解釈するかによる。
http://bipblog.com/archives/3590535.html
※372 以下、VIPにかわりましてBIPがお送りします 2011年10月12日 23:03 ▼このコメントに返信
もーわからんくなってプログラムかいた
解は18個。対称性があるから実質9個、1組と2組の交換がきくのがあるから実質6個
A4→ B5→ C2→ D3→ E1→ ABCDEの順に確定
A3→ B2→ C4→ D1→ E2← ABECD
A3→ B4→ C1→ D2← E2→ ABCDE
A[21]→ B4→ C3→ D[12]← E5← ADBEC
A5→ B[21]→ C3→ D4← E[12]← EBDAC
A3→ B4→ C[12]→ D[21]← E4← ADBCE
※360は全部正解ですね
※28は4日目にどちらも2組の可能性が残るのでアウト
最終的にはプログラムで検証していたが、人力で3つまでは解が出ていた。
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*NO.4 数当てゲーム ~難易度☆★★★★
#region
**問題
14 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 00:00:11.09 ID:VuhyMesuO
出題者がAとBの二人に別々に自然数を伝えた後、こういった。
「2以上の相異なる2つの自然数に対し、Aにはその積を、Bにはその和を伝えた。」
A「私には元の二つが何か分かりません。」
B「そうでしょうね。あなたにも分からないと思ってましたよ。」
A「ほほう、ならば分かりました。」
B「そうですか、それならば私にも分かりました。」
AとBの会話から、元の2自然数を決定しなさい。
ただし、それらはともに20以下であると仮定してよい(A, Bの知る限りではない)。
**解答
#region
4と13
**予想解説
17 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 13:53:08.68 ID:Boluhyw10
それぞれ、p,qとする。
Aは、pqを知り。Bは、p+qを知っている。
Aが分かる条件は、pqが二素数積。
BがAが必ず分からないということが分かる条件は、
p+q=kと固定して、この時のpqが"全て"三素数以上の積であることが必要。
&s(){kが偶数だとpq=素数^2が、現れるためkは奇数}。これらをふまえてkの値の候補を定めると
k=(11,17,23,27,29,33,37)…(つまりk-2が合成数)
この条件からAが分かったということは、pqをあらわすp+qがkである組が一組しか存在しない。
つまりpq=2^n×奇素数で表される数である。(n≧2)
これより、p+q=2^n+奇素数であり、(2^n,奇素数)またそれがひとつに定まる。
(p,q)の候補は、以下の通り
(4,3)(4,5)(4,7)(4,11)(4,13)(4,17)(4,19)
(8,3)(8,5)(8,7)(8,11)(8,13)(8,17)(8,19)
(16,3)(16,5)(16,7)(16,11)(16,13)(16,17)(16,19)
和が被ってるのを消して
(4,3)(4,5)(4,13)(8,5)(8,17)(16,13)(16,17)(16,19)
k=(11,17,23,27,29,33,37)から
(4,13)(16,13)(16,17)の三通り。
これらを確かめることによって、4,13に決定する。
#endregion
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*NO.4-2 数当てゲーム2 ~難易度☆☆☆★★
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**問題(不確定)
355 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/02/20(金) 00:33:09.26 ID:/e42L999O
では俺が考えたとっておきの問題を
Aくん「私が今考えた3つの数字を当てなさい」
Bくん「無理です」
Aくん「仕方ない。ならヒントです
それらの数をすべてかけると40になります」
Bくん「わかりません」
Aくん「それらをすべて足すと今の時刻(時)になります」
Bくん「……無理です」
Aくん「一番大きな数はニケタです」
Bくん「わかりました」
さて、それら3つの数はなんでしょう?
理由も付けて答えなさい
-補足(予測)
3つの数字は整数で全て異なる,今の時刻というのは0時から12時まででカウントする。
**予想解答
#region
-1,-4,10
**予想解説
3つの数をa,b,c(a<b<c)とします。
条件よりabc=40,0≦a+b+c≦12,c≧10
c≧10となる因数分解の方法は正負を含めないと以下の3通り
abc=40=1*2*20,1*4*10,2*2*10
しかしいずれもa+b+c>12で不適
よってaとbは負でなくてはならない。
a+b+c=17,5,6でa+b+c≦12よりa+b+c=5,6。
しかし、a+b+c=6の時a=b=-2で一致するため不適。
これより、a+b+c=5の時に限られて(a,b,c)=(-1,-4,10)
#endregion
#endregion
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*NO.5 モナーとギコとしぃ先生のトランプゲーム ~難易度☆☆★★★
#region
**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 21:54:27.64 ID:cedghjaS0
ギコ、モナーの2人の生徒としぃ先生の3人で次のようなゲームをした。しぃ先生がギコとモナーにそれぞれに
わからないように何枚かのトランプを配り、ギコとモナーは自分のトランプの枚数を確認した後でしぃ先生から
質問を受けお互いの枚数を当てる。いま、3人が次のような会話をしたときの( )に当てはまるギコの発言
としてありうるのはどれか?
しぃ「いま2人に配ったトランプの枚数の差は6枚。さてギコ君に質問。キミはモナー君の枚数がわかるかな?」
ギコ「わからねぇーぞゴルァ!」
しぃ「ふーん、では、ギコ君の枚数がわかるかな、モナー君」
モナー「いーや、漏れもワカラーン。」
しぃ「そう、じゃぁ、ギコ君もう一度聞くよ。モナー君の枚数はもうわかったかな?」
ギコ「わ、わかったぞゴルァ!( )。」
選択肢
1.モナーの枚数は25枚だゴルァ! 2.モナーの枚数は30枚だゴルァ! 3.モナーの枚数は俺より6枚少ないぞゴルァ!
4.けどよ、モナーの枚数は2通り考えられるぞゴルァ! 5.あと1枚ずつ多かったらわからなかったぞゴルァ!
-補足
--トランプの枚数の合計は52枚。
**解答
#region
3
**予想解説
ギコの枚数をn枚としてモナ-の枚数をn+-6枚とする。
ギコの枚数が2n-6≦52からn≦23となる。
また、モナーは、29枚以下となる。よって2番は×。
4の時、わかったぞっていってるのにわかってない。
1の時を考える。この時、ギコは19枚である。ギコが19だからモナーは、25か13と推測できる。
しかし、モナーが25の時はギコが19枚であるとばれるため不適。これよりモナー13枚となる。
つまり、n+12+n+6>52の時は不適。 n≧18の時は、上の場合となる。
この時に、3が成り立つ。
#endregion
#endregion
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*NO.6 ピザ分け問題 ~難易度☆☆☆☆☆
#region
**問題
91 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 00:38:26.88 ID:x4GL/tGm0
AとBでピザを以下のルールに従って取る。
1.Aはピザを切り分けることができる。
2.Bはピザを最初に取ることができる。
3.ピザは交互に取る。
4.最初を除きピザは前に取られた部分の両端からしか取れない。
このときAとBのどちらがどれだけ多く取れるか。
理由も答えよ。
**解答
#region
基本的にB有利でAがどのように切り分けても1:1が限界のように思えるが
1,30,1,30,1,1,30,1,60,1,1,60,1,60,1
の切り分け方なら5:4でAが多く取れる
#endregion
#endregion
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*NO.7 ボートの問題 ~難易度☆☆★★★
#region
**問題
83 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/27(月) 21:57:59.08 ID:Y/lxqEdH0
みんなめんどくさがりだから別の問題だすよ。
左岸から右岸まで、ボートを運ぶ。
向こう岸に渡る時間がそれぞれ一分・二分・四分・八分の四隻のボートがある。
一度に二つまでしか運べない。
ただし、二つ運ぶ場合は遅いほうのボートの時間がかかる。
この時、右岸にすべてのボートを運ぶための最短時間は?
-補足
--ボートの運転手は、一人。
**解答
#region
15分。
**解説
次が15分のパターン。
一分と二分で行く → 一分で帰る → 四分、八分で行く → 二分で帰る → 一分と二分で行く
2+1+8+2+2=15分
#endregion
#endregion
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*NO.7-2 類題 ~難易度☆☆★★★
#region
**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/19(水) 19:29:03.45 ID:Z+O27wif0
架幽、黒豹、白鴎、悪夢の四人が目の前の橋を渡ろうとしている。
橋を渡るのに架幽は1分、黒豹は2分、白鴎は5分、悪夢は8分かかる。
橋を同時に渡れる人数は最大二人であり、同じ側から同時に渡り始めなければならない。
二人で渡る場合は遅いほうの歩速に合わせなければならない。
またこの橋を渡るには「NTGの通行許可証」が必要である。
四人はNTGの通行許可証を計一枚しか持っていない。
しかし一人がNTGの通行許可証を持っていれば、その人を含んだ二人で渡ることができる。
また、二人で渡る場合は終始同時に渡りきらなければならない。
さて、この四人は最短何分で渡ることができるだろうか?
**解答
#region
15分。
**解説
ただ単に4分が5分になってるだけで7-1と同じく考える。
一分と二分で行く → 一分で帰る → 五分、八分で行く → 二分で帰る → 一分と二分で行く
#endregion
#endregion
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*NO.8 テトリス ~難易度☆★★★★
#region
**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/30(木) 21:42:25.55 ID:GhxBljbZ0
テトリスをやってて思いついた問題
縦の長さがm,横の長さがnの長方形がある。
次の三つの図形を上手く組み合わせることでその長方形と
同じ形を作れるためのmとnの条件は何か?
ただし、下の図形の□同士は、一辺1で隣接しているものは
繋がってるものとする。
また、回転させたり裏返したりして使ってもよい。
1 □ 2 □ 3 □
□ □□ □□□
□□ □
-補足
--①と②と③の数に制限はなく,何枚でも使っていい。
--別に①と②と③の全て使う必要はない。
**解答
#region
m,nのいずれかが2の時、mnは8の倍数。
それ以外は、mnは8以上の4の倍数。
**解説
最初に、1と2と3の図形はいずれもブロックが4つなのでmnは四の倍数である。・・①
1を図(1)のように組み合わせることで2×4の長方形ができる。・・・②
また、1と2を図(2)のように組み合わせることで3×4ができる。・・・③
②と③の図形を組み合わせることによってk×4(kはk≧2の整数)ができる。・・・④
①と④より、残りは縦と横がともに4の倍数でない偶数の時だけを考えればいい。
次に図(3)のように組み合わせることによって6×6ができる。・・・⑤
⑤と④より、6×(6+4s)(sはs≧0の整数)ができる。・・・⑥
⑥について6+4sを固定することで、(6+4t)×(6+4s)ができる。(t≧0)・・・⑦
これより、mとnが6以上の四の倍数でない偶数の時については示せたのでm,nのいずれかが2の時を考える。
そのときは、2×4の長方形を繋ぐことしかできないのでmnは8の倍数となる。・・・⑧
④と⑦と⑧より、
mn=4k(kはk≧2の整数)
ただし、mまたはnが2の時はmn=8s(sはs≧1の整数)
#endregion
#endregion
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*NO.9 正直者と嘘つき ~難易度☆★★★★
#region
**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 17:20:42.05 ID:IWXZPoNOO
1つは天国の扉。1つは地獄の扉。1度開けると後戻りは出来ません。
扉の前には3人の門番が立っていて
1人は正直者
1人は嘘つき
1人は適当に「はい」か「いいえ」を答える奴
3人ともどちらが天国 の扉でどちらが地獄の扉か知っています。
あなたは「はい」か「いいえ」で答えることが出来る質問を2回することが許されました。
1回目と2回目で質問する門番を変えることは出来ますが、同時に複数の門番に質問は出来ません。
なんと聞けば天国の扉へ行けるだろう?
**解答
#region
一回目
ABC三人が居たとして、
Aに、「Bは適当な人ですかと聞くとはいと答えますか」ときく
二回目
「はい」なら、Cに「こっちが天国の扉ですかと聞くとはいと答えますか」と聞く
「いいえ」なら、 Bに「こっちが天国の扉ですかと聞くとはいと答えますか」と聞く
**解説
7 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 17:34:27.72 ID:nRLphuEqO
ABC三人が居たとして、
Aに、「Bは適当な人ですかと聞くとはいと答えますか」ときく
「はい」なら、
A正直、B適当
A嘘つき、B適当
A適当、B正直or嘘つき
だから、Cは適当でないことが確定するから、Cに「こっちが天国の扉ですかと聞くとはいと答えますか」と
聞いて解決
「いいえ」なら、
A正直、B適当でない
A嘘つき、B適当でない
A適当、B正直or嘘つき
だから、Bは適当でないことが確定するから、Bに「こっちが天国の扉ですかと聞くとはいと答えますか」と
聞いて解決
質問内容を考えるので、難しい問題だと思います。
#endregion
#endregion
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*NO.9-2 正直者と嘘つき2 ~難易度☆☆★★★
#region
**問題
1 :愛のVIP戦士@ローカルルール7日・9日投票:2008/12/07(日) 21:47:12.27 ID:jqkLt06J0
ある島に正直村と嘘つき村がありました。
正直村の住人は皆正直です。
嘘つき村の住人は皆ウソをいいます。
あなたは今、この2つの村への分岐点の道にたっており
どっちの村から来たかわからない人に正直村への道を尋ねます。
ではどんな質問をすればいい?
**解答
#region
4 :愛のVIP戦士@ローカルルール7日・9日投票:2008/12/07(日) 21:48:54.12 ID:/+BtcFgSO
あなたの村はどっちですか
**解説
相手が正直村→正直村を指す。
相手が嘘つき村→嘘つき村でない方、つまり正直村を指す。
#endregion
#endregion
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*NO.9-3 正直者と嘘つき3 ~難易度☆☆☆★★
#region
**問題
128 :愛のVIP戦士@ローカルルール議論中:2008/12/04(木) 01:52:21.90 ID:SsatgjJxO
ここに5人の人がいます。
A「5人のうち、少なくとも2人は正直者です」
B「5人のうち、少なくとも3人は正直者です」
C「5人のうち、少なくとも2人は嘘つきです」
D「Bは嘘つきです」
E「我は神なり」
さて誰が正直者で誰が嘘つきか
**解答
#region
正直者はAとBとC。嘘つきはDとE。
**解説
もしBが正しいとすればAも正しい。
もう一人が正しい訳だがCが間違ってると仮定すると
DEはともに本当でないとならないためCが正しい。
これよりDとEは嘘つきである。(以上で終了してもよいが一応十分性も示しておく)
もし、Bが間違っているとする。これよりDは正しい。
Aが間違っているならCが正しくなるがこうなるとAが正しくなるため矛盾。
Aが正しいなら残りのCとEは間違ってることにしないとBの仮定に反するがこれはCに反するため矛盾。
この結果から正直者はAとBとC。嘘つきはDとEである。
#endregion
#endregion
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*NO.9-4 正直者と嘘つき4 ~難易度☆☆☆☆★?
#region
**問題(条件不足?)
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/03/08(日) 15:01:54.99 ID:NFGoRG750
A「私が正直ものだ」
B「Aはうそつきです、私が本当の正直ものです」
C「Bこそうそつきです、本当の正直ものはわたしだ」
正直ものはだれでしゅ
**解答
#region
AとCまたはB
**解説
(1)Aが正直ならばBが嘘つき、Cが正直。
(2)Aが嘘つきならばBが正直、Cが嘘つき。
と自動的に決まってしまう。
#endregion
#endregion
*NO.10 虫食い算 ~難易度☆☆☆★★
#region
*問題
230 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 21:57:25.38 ID:o/d3KQL60
ABCDE
× 4
─────
EDCBA
A、B、C、D、Eにはそれぞれ異なる数字が当てはまる。
A、B、C、D、Eの数字を当てよ。
*解答
#region
A=2,B=1,C=9,D=7,E=8
*解説
まず、五桁目に注目して、4×A=Eより、Aは1か2。
一の位に注目して4×E=1か2。4×Eが1になることはないのでA=2であり、これを満たすEは8か3。でも五桁目は4×A=8で、もし繰り上がりをすると6桁以上になるためE≧8。これより、E=8に決定する。
上の結果から四桁目の4×Bも繰り上がりしないのでB=1か2。A=2よりB=1。
二桁目に注目して、4×D+3の一桁目が1であるのでD=2か7。でもA=2よりD=7。
最後に三桁目。4×C+3の一桁目がCなのでC=9に定まる。
よって、A=2,B=1,C=9,D=7,E=8。
#endregion
#endregion
*NO.11 リサイクル問題 ~難易度☆☆★★★
#region
**問題
241 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 22:35:58.97 ID:GthgB8kI0
あるスポーツドリンクは空きびん5本をもっていくと,新しい1本と交換してもらえる。
365本飲むには最低[ ] 本買えばよい。
知ってるやつは今日の夕飯でも書いてろ
**予想解答
#region
293本
**予想解説
最初を250本とでも、してみるとすると
250÷5=50
50÷5=10
10÷5=2
から312本もらえる。
300本とすると、
300÷5=60
60÷5=12
12÷5=2…2
376本。
これより、250以上300本未満。
300本の時12本多いので単純に288本とすると・・・
288÷5=57…3
60÷5=12
12÷5=2…2
288+57+12+2=359本
291本あたりにしてみると・・・
291÷5=58…1
59÷5=11…4
15÷5=3
291+58+11+3=363本
これは…もうすぐ、ジャストミート?
293本だと?
293÷5=58…3
61÷5=12…1
13÷5=2…3
で293+58+12+2=365より
365本!!!
こんな解説ですみません><。
**解説2
交換してもらうためにはまず5本買う必要がある。
そのあとは交換してもらった1本+新しく4本買うことで交換の繰り返しとなる。
飲むことができる本数は、
買った本数+最初に買う5本分で交換してもらった本数+5本以上買った分で交換してもらった本数
となる。
買う本数をn(n≧5)としたとき、
n+1+(n-5)/4 = 5×(n-1)/4+1 (小数点以下切り捨て)
である。
365本飲むので、
5×(n-1)/4+1=365
5×(n-1)=(365-1)×4
n=(365-1)×4/5+1
n=292.2
よって最低293本買えばよい。
#endregion
#endregion
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*NO.12 切符の問題 ~難易度☆☆★★★
#region
**問題
251 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 22:58:16.58 ID:RKGjiHMW0
7 3 7 3 と +-*/() で 24 を作れ
**解答
#region
(3+3/7)*7
**解説
解答の通りです。
でも、これを閃くのは難しいですね。。。
難しい切符問題には少し法則がありますが…
なぜ、切符問題としたかと言えば切符に書いてある四文字の数を四則演算で10にするっていうやつね?
#endregion
#endregion
*NO.12-1 切符の問題2 ~難易度☆☆★★★
#region
251 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 22:58:16.58 ID:RKGjiHMW0
8 3 8 3 と +-*/() で 24 を作れ
**解答
#region
8/(3-8/3)
**解説
これも、難しい問題。これは、連分数になってるし。
#endregion
#endregion
*NO.13 数字の個数 ~難易度☆☆☆★★
#region
**問題(改題)
39 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/04(火) 00:59:23.18 ID:S6crGwE+0
次の問題だと?
図に乗りやがって
この文には
1が(a)個
2が(b)個
3が(c)個
4が(d)個
5が(e)個
6が(f)個
含まれている
これを満たす整数a,b,c,d,e,fを全て決定せよ。
**解答
#region
解なし
**解説
fから考えると分かりやすい。
成立する。a,b,c,d,e,fの組があると仮定する。
f=2の時
b=6が決定するが、この時a=c=d=e=2になるため不適。
この時f≧3も不適なのでf=1に決定。
eとdの時も同じようにして、矛盾を導き出す。
e=2の時は、a=5かb=5となるが、いずれも確かめることで不適になり、e=1に決定。
d=2の時は、a=4かb=4かc=4となるが、これらも確かめることで不適だからd=1になる。
ここで、f=e=d=1よりa≧4となるが、これはd=e=f=1に矛盾。
これより、a,b,c,d,e,fの組が存在しないことが示された。
#endregion
#endregion
*NO.13-2 数字の個数 ~難易度☆☆☆★★
#region
**問題
113 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/13(月) 01:53:47.00 ID:RubpvrCJ0
「この文の中には1が□個、2が○個、3が△個、4が◎個ある」
□、○、△、◎の中にアラビア数字を入れて「」の中の文を成立させよ
**解答
#region
□=2,○=3,△=,2◎=1
#endregion
**解説
今回はあえて書かない方向で。
#endregion
*NO.14 宝石の問題 ~難易度☆☆☆☆★
#region
**問題
339 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/26(水) 22:32:20.48 ID:1J6PfaeU0
ある宝石店に2人の泥棒が入りました。
以下は、その2人の会話です。
M「今日もいっぱい盗れたな」
L「そうだね兄さん」
L「ところで兄さんの宝石を4個くれないだろうか。こうすれば同じ数になるよ」
M「何寝ぼけた事言ってんだ? お前の方こそ4個よこせ」
L「それだと兄さんの宝石が僕の倍になるじゃないか」
2人は合計幾つ盗んだのでしょうか
-補足
Mの何寝ぼけた事言ってんだ?というのは、Lがうそをついているということではない。
**解答
#region
48個
**解説
Lの個数をl、Mの個数をmとして
m-4=L+4
m+4=2(L-4)
これをといて
L=20,m=28。
よって20+28=48個。
#endregion
#endregion
*NO.15 9個の数字の問題 難易度~☆★★★★
#region
**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/30(日) 23:52:41.72 ID:4viv/RLxO
?/??+?/??+?/??=1
?には1,2,3,4,5,6,7,8,9が入ります。
ただし、1から9までの各数字を1つずつ入れて下さい。
1つも余らかさないで下さいね。
**解答
#region
12 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/12/01(月) 00:07:54.86 ID:wMbUawMW0
5/34+7/68+9/12=1
**解説
どうやったらいいものか
#endregion
#endregion
*NO.16 虫食い算2 ~難易度★★★★★?
#region
**問題
5 :愛のVIP戦士@ローカルルール議論中:2008/12/03(水) 16:03:44.65 ID:/DcWh7u9O
「ぜんぶで×ぜんぶの=からすなぜなくの」で1文字に1つの数字が対応していて
「の=0」のとき「ぜんぶで」はいくつか
**解答
#region
7296×7290=53187840
**解説
総当たりで解答だけ
パズル的な解法あるのか?
#endregion
#endregion
*NO.17 二つの枡の問題 ~難易度☆☆☆★★?
#region
**問題
1 :SIX GANz ◆OYm0D4XDlk :2008/11/17(月) 22:53:44.89 ID:Xe3WCTtF0
樽に16リットルの油が入っている。
この油を7リットルと9リットルの桶を使い8リットルずつに分けたい。
最小の回数で分けるには、何回の移し変え操作が必要か?
ただし、油は樽に戻してもよく、樽と桶との間および桶と桶との間で油を移すごとに1回の操作と数えるものとする。
**予想解答
#region
3回
**予想解説
7Lの桶をA,9Lの桶をBとおくと
Aの桶を斜めに傾けて3.5L入れる。
Bの桶を斜めに傾けて4.5L入れる。
BにAを3.5L入れて8L。よって、3回。
#endregion
#endregion
*NO.18 感染症の検査の問題 ~難易度☆☆★★★
#region
**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/16(日) 23:30:48.06 ID:4C4FP4Xy0
ある致命的な感染症にかかる確率は1万分の1である。
あなたがこの感染症にかかっているかどうか検査を受けたところ結果は陽性であった。
この検査の信頼性は99%である。実際にこの感染症にかかっている確率はどの程度であろうか?
**解答
#region
約1%
**解説
感染症にかかってて陽性の確率/(感染症にかかってて陽性の確率+感染症にかかってなくて陽性の確率)
=(1/10000×99/100)/(1/10000×99/100+9999/10000×1/100)
=99/(99+9999)≒100/10100=1/101≒0.99%
つまり、99%信頼出来ても意外と信用できないということです。たった、1%の違いで
99%も違ってくる面白い問題
#endregion
-類題
-類題
382 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/07/06(月) 00:40:49.25 ID:/besquYK0
1000人に40人の割合で感染してる病気がある
感染してる人を検査すると、80%の確率で陽性と出る。
しかし、感染して無い人を調べても、20%の確率で陽性と出てしまう
ある人が検査を受けたら陽性と出た
実際に感染してる確率は何%位?
#endregion
*NO.19 展開の工夫 難易度~☆☆☆★★
#region
**問題(ザ掲示板:数学板:最強の問題より)
[99]匿名 08/08/03 21:47 rAJLytfVh9
今までに出会った中の良問を1つ出すことにする
次の式の値を求め、そのことを数学的帰納法を用いずに証明せよ
(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×……×(2^(2^n)+1)
**解答
#region
2^(2^(n+1))-1 ((2-1)を左から順にかけることによって、もとまる。)
**解説
(2-1) ×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×……×(2^(2^n)+1)
=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×……×(2^(2^n)+1)
=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×……×(2^(2^n)+1)
・
・
=(2^(2^n)-1)(2^(2^n)+1)
=2^(2^(n+1))-1
1を2-1に変形して掛けるというトリッキーな発想に気づくかどうかの問題。
#endregion
#endregion
*NO.20 誕生日のパラドックス ~難易度☆☆★★★
#region
**問題(数学板:誕生日のパラドクスより)(改題)
1 :PARADOX ◆WreS2WPj/s :2009/01/28(水) 18:27:41
[問題]
40人のクラスで、少なくとも一組は誕生日が同じの人の組が出来る確率は50%より多いか少ないか?
#region
**解答
多い
#endregion
**解説
少なくとも一組誕生日が被る⇔全体-(全て異なる誕生日)
∴1-365P40/365^40 =1-365!/325!365^40
ここからの計算が半端なくだるい。
計算機を使うと約89%くらいになります。実は既に23人から50%以上になります。
これは、有名問題でwikipediaにもこの問題の解説がされています。
**参考
[[誕生日のパラドクス:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%95%E7%94%9F%E6%97%A5%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9]]
#endregion
*NO.21 逆説を同時に成立させる問題 ~難易度☆★★★★
#region
**問題
77 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/03/02(月) 09:51:40.19 ID:Q8ct9Yxg0
○は△である。
○は△ではない。
この二文を論理的に満たす○と△をひとつ考えろ っていうのは本当に良い問題だと思う。面白い。
#region
**解答例
・この文章の句点を除く最後の文字は「る」である。
この文章の句点を除く最後の文字は「る」でない。
・この文章は肯定文である。
この文章は肯定文でない。
**解説
○は△である。
○は△ではない。
における異なる部分を見つけることが最大のポイントです。
#endregion
#endregion
*NO.22 幼女問題2 ~難易度★★★★★
#region
**問題
268 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/03/02(月) 13:58:34.83 ID:k494c/z5O
幼女23人がとある洋館に閉じ込められた
幼女は広間に集められ今後について話し合うことができるが、話し合いがすんだら各自に振り分けられた部屋に入らなければならない
部屋に入ると鍵がかかる。その後23人の中からランダムに1人が選ばれる。
選ばれた幼女は別に用意された石像の部屋で以下の2つのうちのどちらかをしなければならない
1.部屋の中央の石像の向きを90度右か左に回転させる(石像は東西南北のいずれかを向いている)
2.部屋の中央の石像を破壊する
幼女が1を行った場合、幼女は部屋に戻され次にランダムに選ばれた幼女が同様の操作をする(以下繰り返し)
幼女が2を行った場合、それまでに石像の部屋で1を行った幼女が全員解放される
このとき幼女が全員洋館から解放されるにはどうすればよいか
ただし、一度部屋に入ったら幼女間の情報伝達は一切不可能。石像の最初の向きは不明とする
また、どの幼女も十分な時間を待てば必ず選ばれるものとする
**解答
#region
**解説
右回転
#endregion
#endregion
*NO.23 必勝法の存在するゲーム ~難易度?
#region
**問題
14:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2009/04/01(水) 03:31:19 .66 ID:GiCew4MV0
nを整数とする。二人の人が交互に1以上n以下の整数を言い合うゲームをする。
ただし一度言われた数を言ってはならない。言える数がなくなったときにゲームが終了し、
先手の言った数の和が3で割り切れるとき先手の勝ち、そうでないとき後手の勝ちとする。
先手に必勝法の存在するnを求めよ。
**解答(未完成)
#region
n≡0,5,4(mod6)
**解説
小さい数で実験してみる。
n=1→×,n=2→×,n=3→×
n=4の時
2→(3or1か4)→1か4→残り とすれば必ず勝てる。
n=5の時
3→(1,4or2,5)→(Bが1なら4,4なら1,2なら5,5なら2)→(残りのどっちか)→(残り)とすれば勝てる。
n=6の時
1→4→2→(3,5,6)→(3or6)→残り
1→5→2→(3,4,6)→(3or6)→残り
1→6→3→(2,4,5)→(2or5)→残り とすれば勝てる。
#endregion
#endregion
*NO.24 増殖する細菌~難易度☆☆☆★★
#region
**問題
21 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/04(土) 21:49:40.62 ID:rJxcqNAh0
ある細菌は1分間たつと、2個に分裂し、また1分間たつと4個になる
こうして1個の最近が瓶にいっぱいになるのに1時間かかるとする
同じ細菌を最初2個から始めると、瓶がいっぱいになるまで
何分かかるか
**解答
#region
59分
*解説
よく考えれば
1個から初めて最初の1分たてば2個になって最初二個の場合に追いつくので
最初2個のスタートの時と比べて1分しか違わないことがわかると思います。
#endregion
#endregion
*NO.25 どこでも割り切れる数字~難易度★★★★★
#region
**問題
312 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/06(月) 00:09:08.83 ID:e4XLnClE0
構成する数字がすべて違っている10桁の数がある。
その数には「左端からn桁で切って出来た数は、すべてnで割り切れる」という性質がある。
ABCDFEGHIJという数であれば、
例えばABCは3で、ABCDEは5で、ABCDEFGHは8で割り切れる。
その数は何だろうか。
**解答
#region
1472589630と3816547290
**解説
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩とおく。
⑩が0であることは簡単にわかるでしょう。…⑩
すると⑤は5か0だが0がもう入ってるから5。…⑤
また、左から偶数列目は偶数、奇数列目は奇数であることもわかる。
今までの情報をまとめると
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩
△○△○5○△○△0 (△は奇数、○は偶数)
(残り 1,3,7,9/2,4,6,8)
また、使える条件を考えると①,②,⑨の条件はどんな場合でも成立する。
∴③④⑥⑦⑧の条件をつかう。
③と⑥より①②③は三の倍数,①②③④⑤⑥も三の倍数より④⑤⑥も三の倍数。…⑥'
④について①②③④が4の倍数より③④が4の倍数…④'
⑧について①②③④⑤⑥⑦⑧が8の倍数より⑥⑦⑧が8の倍数…⑧'
⑥'より④+5+⑥≡0(mod3)から④+⑥=1
これより考えられる(④,⑥)は(2,8)(4,6)(8,2)(6,4)。
(ⅰ)(④,⑥)=(4,6)の時
④'より③④≡0(mod4)より③4≡0でこれを満たす③は存在しないから不適。
(ⅱ)(④,⑥)=(8,2)の時
④'より③④≡0(mod4)より③8≡0でこれを満たす③は存在しないから不適。
(④,⑥)=(2,8)(6,4)の時、③はどんなものでも④'を満たす。
(ⅲ)(④,⑥)=(2,8)の時
(残り 1,3,7,9/4,6)
8⑦⑧について
8⑦⑧が8で割り切れる⇔⑦⑧が8で割り切れる
しかし、この条件を満たすものは残りの組み合わせから⑦⑧=16,96のみ。
(α)(⑦,⑧)=(1,6)の時
(残り 3,7,9/4)
①②③について
①4③が3の倍数より①+③≡2(mod3)しかしこれをみたす①,③は存在しないため不適。
(β)(⑦,⑧)=(9,6)の時
(残り 1,3,7/4)
①②③について
①4③が3の倍数より①+③≡2(mod3)から①と③は1か7が入る。また⑨=3も決まる。
ここで、1472589と7412589について7で割った時
1472589≡2589≡0より成立。7412589≡412589≡2より不適。∴1472589630が成立。
(ⅳ)(④,⑥)=(6,4)の時
(残り 1,3,7,9/2,8)で
4⑦⑧が8で割り切れるので400+⑦⑧から⑦⑧が8で割り切れることに同値。
しかし、これを満たす⑦⑧は32,72に限る。
(α')(⑦,⑧)=(3,2)の時
(残り 1,7,9/8)で
①②③について
①8③が3の倍数より①+③≡1(mod3)より①,③は1と9のいずれか。また⑨=7も決まる。
ここで、1896543と9816543について7で割った時いずれも割り切れないため不適。
(β')(⑦,⑧)=(7,2)の時
(残り 1,3,9/8)で
①②③について
①8③が3の倍数より①+③≡0(mod3)より①,③は1と 3か9。
ここで、1896547,9816547,1836547,3816547を7で割ったあまりを考える。
(分けて計算すると手間が少し省ける)
6547を7で割ると2余るから他で5あまればよい。
1890000÷7→×,9810000÷7→×,1830000÷7→×,3810000÷7→○
よって、3816547290。
∴1472589630と3816547290
#endregion
#endregion
*NO.26 オセロ盤 ~難易度?
#region
**問題
127 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/06(月) 23:33:39.80 ID:DVDYK18o0
>>117 これは解かれた記憶ない
7×7のオセロの盤がある。
この盤上に、どの二つの石の間の距離も異なるように7つの石を並べよ。(1通り)
┏━━━━━━━━━━━━━━━┓
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158 :127:2009/04/07(火) 00:09:53.00 ID:MgC4lUzx0
今日もやっぱり解かれないみたいだからもう一問
6×6石6つ 2通り
5×5石5つ たくさん
-補足
128 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/06(月) 23:35:38.58 ID:DVDYK18o0
●○●なら距離2
●○○
○○○
○○●なら2√2
**解答例募集中
#region
5×5
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6×6
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7×7
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┗━━━━━━━━━━━━━━━┛
#endregion
#endregion
2018-05-20T13:28:28+09:00
1526790508
-
12160005
https://w.atwiki.jp/524287/pages/125.html
*NO.5-1 数列と極限 ~難易度☆★★★★
**問題
333 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/03/03(火) 01:41:17.27 ID:vDALqt+20数列a[n]において
a[n+1]=(p)^(a[n])、a[1]=p
のとき、lim[n→∞]a[n]が有限値に収束する実数pの
最大値を求めよ
**解答
#region
**解説
(1)
#endregion
*NO.5-2 数列と極限 ~難易度★★★★★
**問題
228 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/07/15(金) 22:13:18.13 ID:gEpLjUrQ0
数列{a[n]}を以下のように定める。
a[1]=1 , a[2]=√2
a[n+2]=|a[n+1]-a[n]|
なお、√2が無理数であることは証明せずに用いてよいものとする。
(1) lim[n→∞] a[n]を求めよ。
(2) lim[n→∞] Σ[k=1,n]a[n]を求めよ。
**解答
#region
(1)0 (2)3+2√2
**解説
(1)
max{x,y,…}でx,y,…の中で最大のものを表すとすると、
a[n+2]<max{a[n+1],a[n]}
a[n+3]<max{a[n+2],a[n+1]}
∴max{a[n+2],a[n+3]}
<max{a[n+2],a[n+1],a[n]}
<max{a[n+1],a[n]}
∴max{a[n+1],a[n]}は減少数列。
0≦max{a[n+1],a[n]}よりmax{a[n+1],a[n]}は下に有界であるので収束する。その極限値をαとすると
α=|α-α|=0
∴lim[n→∞]a[n]=0
(2)
a[1]=1、a[2]=√2、a[3]=√2-1、a[4]=1、a[5]=2-√2、a[6]=√2-1、
a[7]=3-2√2、a[8]=3√2-4
∴(3-2√2)a[1]=a[7]
(3-2√2)a[2]=a[8]
以上と与漸化式から任意のnについて(3-2√2)a[n]=a[n+6]がいえる。
a[1]+a[2]+…+a[6]=2+2√2
a[6m-5]+a[6m-4]+…+a[6m]=b[m]とすると
b[m+1]=(3-2√2)b[m]
∴b[m]=(2+2√2)(3-2√2)^(m-1)
∴Σ[k=1,m]b[k]
=(2+2√2){1-(3-2√2)^m}/(-2+2√2)
=(3+2√2){1-(3-2√2)^m}
6m≦n≦6m+6、Σ[k=1,n]a[k]=S[n]とすると
S[6m]≦S[n]≦S[6m+6]
m→∞のときS[6m]→3+2√2、S[6m+6]→3+2√2から、ハサミウチの原理より
S[n]→3+2√2
となる。
#endregion
*NO.5-3 数列と極限 ~難易度★★★★★
**問題
96:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/07/26(金) 17:38:02.00 ID:ju32204Sidownup
自然数nに対して、次の方程式の実数解xの総和をF_nとする。
[x]+[2x]+……+[nx]=(2+3+…+n)*x
このとき、極限値
Lim[n→∞]F_n/n^2
を求めよ
**解答・解説
#region
[x]+[2x]+……+[nx]=(2+3+…+n)*x……(1)
まず、S_n = 2+3+…+nとおく。
(1)の左辺は整数だから、右辺も整数となる。よって、
x = a + m/S_n(m=0,1,…,S_n-1)……(2)
という形で表せる。これより、(1)に代入すると、
Σ(k=1,n)[ka+km/S_n] = S_n*a + m
⇔(S_n+1)*a + Σ(k=1,n)[km/S_n] = S_n*a + m
⇔a = m - Σ(k=1,n)[km/S_n]……(3)
この式から、mを一つ定めると、aもただ一つの数に決まる。
つまり実数解はS_n個ある。
(3)を(2)に代入すると、
x = (S_n+1)/S_n*m - Σ(k=1,n)[km/S_n]
∴F_n = (S_n^2-1)/2 - Σ(m=0,S_n-1)Σ(k=1,n)[km/S_n]……(4)
ここで、
x-1 < [x] ≦ x
であるから、
km/S_n-1 < [km/S_n] ≦ km/S_n
(4)にこの不等式を適用して、
(S_n^2-1)/2 - Σ(m=0,S_n-1)Σ(k=1,n)km/S_n ≦ F_n < (S_n^2-1)/2 - Σ(m=0,S_n-1)Σ(k=1,n)(km/S_n-1)
⇔(S_n^2-1)/2 - Σ(m=0,S_n-1)(S_n+1)/S_n*m ≦ F_n < (S_n^2-1)/2 - Σ(m=0,S_n-1)(S_n+1)/S_n*m + n
⇔0 ≦ F_n < n
⇔0 ≦ F_n/n^2 < 1/n
はさみうちの原理より、F_n/n^2はn→∞において、0に収束する。
#endregion
2013-07-27T11:33:21+09:00
1374892401
-
12160007
https://w.atwiki.jp/524287/pages/159.html
*NO.7-1 体積 ☆☆★★★
**問題
23 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/07/27(月) 20:51:22.21 ID:EVaf5WO3O
xyz空間において、四面体OABCを
(i)2点A,Bは原点Oを中心とするxy平面上の単位円上にある
(ii)点Cはz軸上にある
(iii)∠ACB=α(0<α<π)
を満たすもののうち、体積が最大であるものとする。
四面体OABCの体積をV(α)とおく。
α→0としたとき、αV(α)の極限値を求めよ。ただし、原点をOとする。
**解答
#region
4√3/27
**解説
A(1,0),B(cosθ,sinθ),C(0,c)とすると
△ABCにおける余弦定理より
(2sin(θ/2))^2=2(1+c^2)-2(1+c^2)cosα=2(1+c^2)(1-cosα)より
(1-cosθ)=(1+c^2)(1-cosα)…①
V=c/6*sinθ
V^2=sinθ^2c^2/36=sinθ^2*{(1-cosθ)/(1-cosα)-1}/36(∵①)
=(1-cosθ^2)*( (1-cosθ)/(1-cosα)-1)/36…②
cosθ=tとして右辺=f(t)とすると
f(t)=(1-t^2)( (1-t)/(1-cosα)-1)/36=(1-t^2)(cosα-t)/36(1-cosα)
36(1-cosα)f'(t)=3t^2-2cosαt-1
3t^2-2cosαt-1の解は
t=(cosα+-√( (cosα)^2+3))/3で増減を考えるとt=(cosα-√( (cosα)^2+3))/3でf(t)は最大よりこの時Vも最大で
cosθ=(cosα-√( (cosα)^2+3))/3を考慮にいれて極限を考えると…③
lim(α→0)αV(α)=lim(α→0)√α^2{(1-cosθ^2)*( (1-cosθ)/(1-cosα)-1)}/6
=lim(α→0)√{(1-cosθ^2))*((1-cosθ)α^2/(1-cosα)-α^2}/6
ここで、③よりcosθはα→0の時cosθ→-1/3に収束する…④
また、α^2/(1-cosα)=α^2(1+cosα)/(1-cosα)(1+cosα)=α^2(1+cosα)/sin^2αから
α→0の時にα^2/(1-cosα)は2に収束。…⑤
④,⑤より
lim(α→0)√{(1-cosθ^2))*((1-cosθ)α^2/(1-cosα)-α^2}/6
=√{(1-1/9)*(4/3*2)}/6=√(8/9*8/3)/6
=4√3/27
--元ネタ
東工大AO '08 課題I-1(同問)
#endregion
2013-07-05T23:45:18+09:00
1373035518
-
12120009
https://w.atwiki.jp/524287/pages/179.html
二次関数
**問題
F(x)=5*(sin x)^2-10*a*sin x-n
a,xは実数,nは自然数とする。
一般的なnについて,F(x)=0の解が存在するのはaがどのような値をとるときか。
2013-04-06T03:54:13+09:00
1365188053
-
コメント欄ログ
https://w.atwiki.jp/524287/pages/27.html
-コメントテスト - 524287 2008-10-28 23:05:38
-test - aa 2009-02-16 11:48:05
-履歴 - 名無しさん 2009-03-02 22:22:01
--$$\sum _{k = 1} ^{n} k + 2$$プレビューで確認したらここはtex使えるみたいね。ちょくちょく編集しに来ようかしら。
-tex使えるならvip統一模試とかtex化しましょうか? 東大型模試作ってもいいけど - wsi 2009-09-17 01:21:07
-お手数だとは思いますが、やってもらえるととてもありがたいです。一応権限直しときます。
-NO.25 どこでも割り切れる数字 の解答ですが、1472589630は上7桁が7で割り切れませんので、3816547290だけかと思います。 - 通りすがり 2010-06-03 19:12:46
-私の勘違いかもわからないのですが、NO5は多分ギコ12枚モナー18枚で選択肢は5ではないでしょうか……検討してくれるとありがたいです。間違っていたらすいません…… - キタロー肉彦 2011-05-23 16:16:34
--No5 ギコの問題なのですが、 ギコ7、モナー13の場合は3にはならない気がします。 ギコの予想1回目→1 or 13 モナーの予想1回目 7 or 19 ギコの予想2回目→モナ―が「わからない」から相手は1じゃない よって13 とやれば。 - 名無しさん 2011-11-14 23:55:14
--そして、「あり得る」と範囲でみるならば、キタロー肉彦さんがおっしゃってるような場合に5もあり得ます。 問題不適切が正しいかと。 - 名無しさん 2011-11-14 23:59:39
-すんません俺の勘違いでした……OTLスルーしてください - キタロー肉彦 2011-05-24 06:44:52
-NO.9-7 整数問題の基礎の答えは(2,2)のみだと思います - qw 2011-06-03 19:44:08
-ご指摘ありがとうございます。回答に間違いがありましたので訂正致しました。 - 管理者 2011-06-05 23:49:47
-論理パズル NO.16の解答は7296でした。解はこの1つのみでした。 - seyfert 2011-06-20 22:22:38
-テス - テス 2011-11-08 02:56:24
-392本で済む。これだと最後に空き瓶が4本残るが、誰かに空き瓶を借りて、1本飲み足したあとに借りた人に空き瓶を返せばよい。 - No.11 2011-11-08 02:58:22
-幼女問題解けたんだが - 名無しさん 2011-11-08 18:45:59
-このサイトの未解決の問題をまとめたりするのはどうでしょうか - 名無しさん 2011-11-08 22:20:17
-No.28の解説、2組は5組より上位であるの下りの部分で順位の確定早すぎない? - 名無しさん 2012-01-02 07:40:18
-No.23はn=6で先手が5を宣言すればいいのでは? - でる 2012-01-07 10:39:28
-もう解けてるけど,二進数の掛け算 - No.19 2012-01-07 20:33:32
-上のミス;; No.19は二進数表記にすると式が 11 * 101 * 10001 * .... *1(0が2^n-1個)1 になって,解は1が2^(n+1)個並んだ二進数になる - 名無しさん 2012-01-07 20:37:00
-ピザ分け問題の解説を書いたんですがバイト数制限にひっかかったのでNo.27を021に移させてもらっても大丈夫でしょうか - 名無しさん 2012-01-12 01:08:59
--まぁいいんじゃない? - 名無しさん 2012-01-25 21:02:03
--ピザ分け問題の解説ぜひお願いします! - 名無しさん 2012-01-26 16:17:56
-論理パズルのNO.3は誤り。あの並びでは5日めに全員来なくなる。 - 名無しさん 2012-08-10 03:48:32
-No.22 幼女問題2の答案
--親1人を決める。親は像の向きが東or南だったらその数を数え、向きが西or北になるように回す。向きが西or北だった時は西or北のまま変わらないように回す。子は像の向きが東or南だった時は東or南のまま変わらないように回し、西or北だった時は東or南になるように回す。但し2回まで。3回目以降は西or北であっても西or北のまま変わらないように回す。親は東or南を見た回数が44回になったら像を破壊する。子が西北→東南を1回のみしかできないとすると、初期の像の向きを処理できないので、2倍する。 - 名無しさん 2012-11-27 17:50:32
--NO22で、石像の向きが分からない場合はどうするの? - 名無しさん 2013-03-09 19:01:36
-No.37 幼女問題~積木 ですが、例えば12483675555と選べば、11回以内に脱出出来ると思います。要は連続する4つの数字について任意の組み合わせの和が互いに異なるように…。5選択時は悪魔が回答してくれた時点で止める。一番最後の数字は悪魔が3回連続で回答をパスするかもしれないので4つ連続する可能性があり、他の7種類の数字も最低1回は選択する必要があると考えれば、11回以内は最少と考えてよいかと。 - 名無しさん 2012-11-27 18:46:26
-No.4 予想回答について。17だと(p,q)=(6,11)のときもpq=66が「pqをあらわすp+qがk(=11,17,23,27・・・)である組が一組しか存在しない」をみたすので17は正解ではないと思います。 - 名無しさん 2013-03-29 00:10:54
2013-03-29T00:10:54+09:00
1364483454
-
論理パズル2
https://w.atwiki.jp/524287/pages/121.html
*注 既存の論理パズルのページが容量を超えたためページを増やしました。
*NO.27 正しい証言はどれか~難易度☆☆☆★★
#region
**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/27(月) 23:19:21.93 ID:RAZxG2Lg0
ハム速転載
ある事件について、現場にいたA~Dの証言は以下の通りである。しかし証言は正しいものばかりであるとは限らず、また、正しい証言の個数は、4人とも異なる。
<犯人の服の色、性別、逃げた方向についての証言>
A→黒の服、男、北に逃げた
B→白の服、女、北に逃げた
C→黒の服、男、南に逃げた
D→白の服、男、東に逃げた
犯人の服の色、性別、逃げた方向として妥当なのはどれか。
①黒の服、男、北に逃げた
②黒の服、女、南に逃げた
③黒の服、男、南に逃げた
④白の服、女、北に逃げた
⑤白の服、男、東に逃げた
答えは見たんだが何故その答えに結び付くのか分からない
分かる奴教えてくれ
**解答
#region
③
**解説
ポイントは、"正しい証言の個数は、4人とも異なる"というところ。
以下正しい時1点,間違っている時を0点として考える。
例えば、2個正しくて1個間違った証言をしてるなら2点とする。
Aが全て正しいと仮定すると
A=3,B=1,C=2,D=1よりB=Dで矛盾。
Bが全て正しいと仮定すると
A=1,B=3,C=0,D=1よりA=Dで矛盾。
Dが全て正しいと仮定すると
A=1,B=1,C=1,D=3よりA=B=Cで矛盾。
∴Cが全て正しい。
これより、Cの証言に当てはまるのは③であるから③が正解となる。
全て正しいという情報が一番利用しやすいからこれを使うのがベストだと思います。
#endregion
#endregion
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*NO.28 運動会の得点 ~難易度☆☆☆★★
#region
**問題
29 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/28(火) 00:23:04.94 ID:wJ2MvsC70
国家一種の問題だよ正解したら官僚
A学園の運動会は6つの組の対抗戦で行われる。
各組のはちまきの色は赤 黄 青 白 茶 緑 のいずれかである
ある年の運動会で、全種目を終えた時の得点結果は以下の通りである
1位→3980点 2位→3740点
3位→3560点 4位→3510点
5位→3450点 6位→3270点
この得点表に関してわかっていることは
・得点差が最小なのは1組と6組である
・5組は最下位ではない
・2組は5組より上位である
・赤の得点は青より400点以上高い
・茶は1組より下位である
・黄は白より500点以上低い
・4組は黄である
この時正しいのはどれか。
①1位は2組ではちまきは白
②2位は3組ではちまきは赤
③3位は3組ではちまきは青
④4位は5組ではちまきは茶
⑤5位は1組ではちまきは緑
**解答
#region
①
**解説
情報が煩雑です。
そのような時は、ひとつずつ詰めていくことを心がければ単なる面倒な問題となることが多いです。
とりあえず条件を簡略化できそうは
・得点差が最小なのは1組と6組である
ですので、これから取り組みましょう。
すると3位と4位のペアに当てはまるので
・3位と4位には1組と6組のどちらかが当てはまる
と言い換えられます。
次に可能性のあるものを書き出してみましょう。
組について
・5組は最下位ではない
・2組は5組より上位である
を考慮してまとめてみましょう。
1位→2組,3組,4組
2位→2組,3組,4組,5組
3位→1組,6組
4位→1組,6組
5位→3組,4組
6位→3組,4組
となります。ここで、5位と6位について3組と4組のどちらかが入ることになるので
1位に2組,二位に5組が入るのが自動的に決まる。
よって、
1位→2組
2位→5組
3位→1組,6組
4位→1組,6組
5位→3組,4組
6位→3組,4組
となります。
次に鉢巻について考える。
・赤の得点は青より400点以上高い
・黄は白より500点以上低い
・4組は黄である が使えそう。
ここで、"400点"と"500点"について考えると
1位→3980点 2位→3740点
3位→3560点 4位→3510点
5位→3450点 6位→3270点
より、500点以上の差は1位と6位,または1位と5位に絞られる。
400点以上の差は上記に加えて2位と6位,1位と4位,1位と3位に絞られる。
ここで、白が黄色より500点以上高いということは、白が一位であるのがわかる。また黄色が5位か6位。
つぎに、赤と青の比較。
1位はとられたので赤は2位になる。これより青が6位。すると黄色が5位とわかる。
1位→白
2位→赤
3位→茶,緑
4位→茶,緑
5位→黄
6位→青
・茶は1組より下位である
・4組は黄である
を最後に使ってあげると
1位→白,2組
2位→赤,5組
3位→緑,1組
4位→茶,6組
5位→黄,4組
6位→青,3組
である。よって、答えは、①
-補足
実際に答えを出すだけなら、
・黄は白より500点以上低い
・5組は最下位ではない
・2組は5組より上位である
・得点差が最小なのは1組と6組である
だけでも解けます。
作問者は、正確な答えよりも速い処理を重視したかったのかもしれません。
#endregion
#endregion
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*NO.29 他の人の持ってるカードを推測 難易度~☆☆★★★
#region
**問題
97:◆ELMu1i7DU2 2009/04/28(火) 02:08:24 .58 ID:RB2oJ+DHO
寝る前に出しとくね難問。官僚志望の方どうぞ!
赤3枚、黒2枚のカードを5枚用意する。
これをABCDの4人に何色か見えないように1枚ずつ渡し、余った1枚はすぐ隠す。
つまり、4人は自分のカード以外は誰が何色のカードをもらったのかわからず、
また、隠されたカードが何色だったかもわからない。
まず、AとBに持っているカードを互いに確認させ、4人の持っているカードの色をあてることが
できるか尋ねると、2人とも「わからない」と答えた。
次にこれを聞いていたCとDに、同じようにカードを互いに確認させ、同じ事を尋ねると、
2人とも「わからない」と答えた。次にBとCに同様のことをすると、
2人とも「わからない」と答えたが、
同時にBが「C君がわからないのなら僕はわかった」と言い、
同時にCが「B君がわからないのなら僕はわかった」と言った。
するとこれを聞いていたAとDが同時に「僕もわかった」と言った。
4人の持っているカードは何色か。 ①赤赤黒赤 ②黒赤黒赤 ③黒赤赤黒 ④赤黒赤赤 ⑤赤黒黒赤
**解答
#region
③
**解説
これは、出題者の言う通りハイレベルな問題ですが、選択肢から迫れば楽です。(反則気味ですが…)
便宜上PとQ同士がカードを確認する作業をP ̄Qとでもしておく。
まず、わかるという状況について考えて見ましょう。
パターン1→黒を持ってる人を2人みた。
パターン2→赤を持ってる人を3人みた。
とまあ、当たりまえですが一番重要なところなので書いておきます。
つまり
わかった⇔自分含めて赤を3人または黒を2人みた ということになります。
これを考慮して
⑤については、B ̄Cについてわかりあってしまうので×。
②については、A ̄BとB ̄CでBがわかってしまうので×。
条件の対称性からして③が正解だという予想がたつ。(もし①が正解なら④が正解になってしまう。)
実際③についてゲームの流れをたどっていくと成立する。(十分条件を満たす)
∴③
#endregion
#endregion
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*NO.30 数を並び替える問題 ~難易度?
#region
**問題
45 : ◆uRWOnnHSjw :2009/04/06(月) 22:23:59.45 ID:fIaho5qj0
ある十進法正整数の一番左の数を一番右に持っていく
(ex.12345→23451、1023→231)と、もとの数の1/11倍になった
この数はいくつ?
前にVIPで俺が解かされた問題
答えはトリップ
-類題
236 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/05(日) 22:46:56.79 ID:tOzL3VG6O
ある数があります
この数の先頭の数字を最後尾にもっていきます
例えば2534→5342のような操作です
するともとの数の2倍になります
ある数を求めよ
ちなみにある数はいくつかあります
いつかのスレでこんな問題あったなww
できる?
**解答?
#region
100917431192660550458715596330275229357798165137614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321
**解説?
#endregion
#endregion
----
*NO.31 暗号 ~難易度☆☆☆☆★
#region
**問題
94 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/05/25(月) 00:20:31.14 ID:YkSnBN4+O
じゃ俺も判断推理を一つ
ENGLANDが5147121144と表される時、GERMANYはどう表されるか
A 41053612811
B 92311486531
C 75181311425
D 42162491233
E 31245765023
**解答
#region
C
**解説
アルファベットの番号順。
番号数からアルファベット1文字に1~2個の数字が対応すること。
アルファベットを数字に対応するときにアルファベットの並び順に番号をつけるのは
一番単純なパターンだから簡単かもしれない。
#endregion
#endregion
----
*NO.32 時間 ~難易度☆☆☆★★
#region
**問題
126 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/05/25(月) 00:31:34.06 ID:YkSnBN4+O
レベルあげるか
ABCの3人が九時に駅で待ち合わせすることにした
3人の到着状況がつぎのア~オのとおりであったとすると、正しいものは次の1~5のうちどれか
ア、Aは自分の時計で8時58分に到着した
イ、Bは自分の時計で9時3分に到着した
ウ、Cは自分の時計で9時5分に到着した
エ、AはBより6分早く8時55分に到着した
オ、Bの時計はCの時計より4分進んでいた
1、Aの時計はBの時計より5分進んでいた
2、AはCの時計で8時53分に到着した
3、BはAの時計で9時2分に到着した
4、CはAの時計で9時8分に到着した
5、Cが一番早く到着した
**解答
#region
2
**解説
それぞれの時計の本当の時間からの進んだ時間をa,b,cとする。(進んでいれば+遅れていれば-)
実際の時間の9時を基準にしてA,B,Cの到着した時間を整理
A:-2-a(∵ア)
B:3-b(∵イ)
C:5-c(∵ウ)
時間の差を整理
-2-a=-5,3-b=1(∵エより、Aは8時55分,Bは9時1分に到着)
b=c+4(∵オ)
でこれを解くとa=3,b=2,c=-2なので
到着した時間は、
A:-5,B:1,C:7
1,2,3,4,5をそれぞれ確認して
2が答えとわかる。
#endregion
#endregion
----
*NO.33 時間2 難易度~☆☆☆★★
#region
**問題
169 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/05/25(月) 00:46:06.46 ID:YkSnBN4+O
最後に時間系で難しい奴
A氏が出勤前に時計を見たところ、腕時計は7時10分を、柱時計は7時25分をさしていた。会社で腕時計を正午の時報に合わせようとしたところ、ちょうど12時を指していた。
腕時計の時刻が16時50分の時帰宅したが、その時柱時計は17時45分を指していた。正午にはこの柱時計は何時何分を指していた事になるか。
選択仕無しでいこうか
**解答
#region
12時35分
**解説
以下、腕時計=腕,柱時計=柱とする。
最初と最後の条件を使うと
腕:7時10分~16時50分の時、柱:7時25分~17時45分より
腕:9時間40分(580分)進む時に柱:10時間20分(620分)だから
腕の進む時間:柱の進む時間=29:31
これより、腕が7時10分~12時が4時間50分(290分)進む間に柱は310分(5時間10分)進む。
よって、12時35分。
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#endregion
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*NO.34 ゲームの矛盾 ~難易度☆☆★★★
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**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/05/25(月) 20:38:27.76 ID:CtRe8wp70
ある兄弟が話している。
弟「兄ちゃん、今日学校で面白いゲーム作って友達と遊んだんだよー」
兄「へえ、どんな?」
弟「えとね、まず勝負する人全員が1から10までのカードを持っていて、みんな一斉に一枚選んで出すんだ。
それで、出された数の中で2番目に大きい数を出した人が勝ちになるんだよー。勝者が複数いたらあいこでもう一回ね」
兄「へえ。面白そうだね。」
兄「……ん?……そのゲーム、勝負として何かおかしくないか?」
さて、何がおかしいのだろうか。ただし、兄は勝負する人全員の頭が良いことを想定している。
だいぶ簡単
**解答
#region
解説参照
**解説
もし、10を出すと絶対に勝てないからみんな9以下を出すことになる。…①
①よりみんな9以下を出すので9を出しても絶対に勝てないからみんな8以下を出すことになる…②
以下同様に降下するとみんな1を出すことになるがあいこになって終わらない。
#endregion
#endregion
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*NO.35 はかりの問題 ~難易度☆☆★★★
#region
**問題
53 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 21:49:26.46 ID:VuhyMesuO
1枚99gの金貨AがX枚入っている袋Aと1枚100gの金貨BがX枚入っている袋Bがある。
今ここに袋が5袋あり、それぞれが袋Aか袋Bであることは間違いないがそれぞれがどちらかはわからない。
重さのわかるハカリを1回だけもちいてどれが袋Aでどれが袋Bか判別したい。
ただし、金貨Aと金貨Bの見た目は同じである。
袋から金貨を取り出してもよいとする。
(1)Xが16のときどうすればよいか。
(2)Xが13のときどうすればよいか。
**解答
#region
(1)例(16,8,4,2,1)
(2)(13,12,11,9,6)または、(13,12,11,6,3)
**解説
(1)この問題は、要するに5袋の金貨の数をそれぞれa,b,c,d,eとして(a>b>c>d>e)
それら5袋から何袋かとってきた時の金貨の数の総和として考えられる値が全ての場合で異なればよい。
(つまり、2^5通りの金貨の数が考えられるということ。)
仮にe=1,d=2とした時、e+d=3からc≧4でc=4とできてその時5,6,7は出てくるからb=8でa=16。
X=16だからこの値は、満たす。
(2)基本的に自力ですが、X=13であることからa=13としてかまいません。
a=13、b=12、c=11とするとd=10の時は、12+11=13+10でだめ。
d=9の時は、大丈夫そうでe=8から考えていくとe=6の時に上手くあてはまる。
#endregion
#endregion
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*NO.36 当てはまる数の推測 ~難易度☆☆★★★
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**問題
34 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/06/16(火) 22:56:02.16 ID:POG3gzvrO
論理系ではないけど
160 144 162 687
16 18 30
? 12
10
「?」に入る数字は?
**解答
#region
16
**解説
各桁の和を考えると答えに辿りつく。
例えば160と144なら1+6=7,1+4+4=9で7+9=16みたいな感じ。
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#endregion
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*NO.37 幼女問題~積木
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**問題
11 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/06/16(火) 20:33:13.07 ID:8u+V3j9sO
3人の幼女が悪魔に捕えられ、別々の部屋に閉じ込められている
また、悪魔がいる部屋にはテーブルと赤と青のたくさんの積み木がある
積み木にはそれぞれ1から8の数字が1つかかれており、同じ数字なら同じ色である
始めはテーブルには積み木はのっていない
①悪魔が一人をランダムに選び部屋に入れる
②悪魔が最後にテーブルに乗せた積み木の数字を伝える(なければ「なし」と伝える)
③幼女が1から8のうち一つの数字を選び、悪魔がその数の積み木を1つテーブルに乗せる
④悪魔がテーブルにのっている赤の積み木の数字の合計を伝える(ただし、3回まで伝えないことができる)
⑤幼女は元いた部屋に戻される
幼女のうち誰かが「やめて」と言うまで①~⑤を繰り返す
①~⑤の間幼女は目隠しをされたままである
「やめて」と言ったら幼女はどの数字が何の色か答え、正解なら脱出できる
幼女達は閉じ込められる前と「やめて」と言った直後に話し合えるとして、どうすれば確実に脱出できるか?
最も手数が少ない方法は何か?
**解答(未作成)
#region
確実に脱出できる方法は以下の通り
1.最初の幼女は1を選ぶ(悪魔が「なし」と伝えることから、最初である事は確認できる)。
2.最初以外であれば、悪魔が伝える番号の積み木の色が分からなければ同じ番号を、分かるなら1つ大きい番号を選ぶ。
3.3人のうち誰かが「8」の積み木の色が分かったら、「やめて」と言い、3人が知っている積み木の色を一人に教えて、「やめて」と言った幼 女がそれを答える。
**解説(未作成)
悪魔が赤い積み木の合計を伝えない場合を除いて考える。
(1)「1」の積み木をテーブルに置く時
ある幼女が、一回机に「1」の積み木を置けば、机には「1」しかないので、「1」の色が分かる(青なら0、赤なら1以上)。
よって、どの幼女も最高で一回までしか「1」を選ばないので、「1」は最高で机に3個しかない。
(2)「2」~「7」の積み木を机に置く時
代表して「2」の時を考える。
ある幼女が二回、「2」の積み木を選べば、一回目と二回目の赤い積み木の合計から、「2」の色が分かる。
(青なら一回目と二回目は同じ。赤なら一回目<二回目)
よって、どの幼女も最高で二回までしか「2」を選ばないので、「2」は最高で机に6個しかない。
(3)「8」の積み木を机に置く時
(2)と同様に考えると、3人のうち誰かが「8」を2回選び、机の上の赤い積み木の合計を聞けば、「8」の色が分かる。
(1)~(3)より、 机の上にある積み木の個数が最大となる時は、
「1」3個、「2」~「7」6個づつ、「8」4個の43個。
悪魔が赤い積み木の合計を伝え無い時を考えると更に3個増えるので、46回以内に確実に脱出できる。
#endregion
#endregion
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*NO.38 論理 ~☆☆☆☆★
#region
**問題
Q1:ある営業所で専門業者 A , B , C , D , E に依頼する計画は次のようになっている.
○ A に依頼する日には B には依頼しない.
○ C に依頼しない日には B に依頼する.
○ D に依頼しない日には C にも E にも依頼する.
○ B に依頼しない日には D に依頼する.
このとき,次のうち確実に言えるものはどれか.
1. A に依頼する日には D にも依頼する.
2. B に依頼する日には D には依頼しない.
3. C に依頼する日には E にも依頼する.
4. D に依頼する日には A には依頼しない.
5. E に依頼する日には A にも依頼する.
**解答
#region
1
**解説
① A に依頼する日には B には依頼しない.
② C に依頼しない日には B に依頼する.
③ D に依頼しない日には C にも E にも依頼する.
④ B に依頼しない日には D に依頼する.
として、
①,④よりAに依頼する⇒Bに依頼しない⇒Dに依頼するなので1が正しい。
選択問題なのでこの一発で終わりですが、一応確認すると
2はBに依頼する⇒Aに依頼しない(∵①の待遇)で論理ストップ
3,4,5は仮定から続くものが存在しないため不適。
#endregion
#endregion
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*NO.39 クリの分配 ☆☆★★★
#region
**問題
111 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/11/13(金) 23:09:58.88 ID:NzCMnLg+0
A、B、Cの3人が山にクリ拾いに行きAは116個、Bは112個、Cは96個拾いました
帰り道まず誰かが自分のクリの1/4を誰かにやり、次に誰かが自分のクリの1/4を誰かにやり、
最後に誰かが自分のクリの1/4を誰かにやりました
すると3人のクリの個数は全て同じになりました。どんなやり方をしたのでしょうか?
**解答
#region
①B→A ②C→B ③A→C
**解説
>>逆から攻める
誰かが自分のクリの1/4を誰かにやる三回の動作を動作①,②,③とする。
合計数の変化はないので最終的に(116+112+96)/3=108個になる。
動作③を考えると
108+a,108-a,108→(動作③)→108,108,108として
(108+a)×1/4=aよりa=36となるため
三人の持っているクリは144,108,72である。
あとこの動作からも分かるが1回の動作で2人しか影響がないので
動作①後に誰かが144,108,72のいずれかになっている必要がある。
動作①を考える。
(1)144にA,B,Cの誰かがなる場合
動作①後の持っている個数の最大値はBがAにあげる時で
116+28=144でこの時のみ。
(2)108にA,B,Cの誰かがなる場合
やってみたらわかるが、これは存在しない。
(3)72にA,B,Cの誰かがなる場合
これはCがAかBかのいずれかにあげる場合に満たす。
動作②を考える。
(1)動作①がB→Aの時
A144 B84 C96だがC→BとすればA144,B108,C72となって動作③の条件を満たし
最後にA→CとすればA=B=Cの条件を満たす。
(2)動作①がC→Aの時
A140 B112 C72であるが、この時144,108,72を満たすものはない。
(3)動作①がC→Bの時
A116 B136 C72であるが、これも144,108,72を満たすものはない。
以上より
①B→A ②C→B ③A→Cとすればよい。
#endregion
#endregion
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*NO.40 正解はどっちか ☆☆★★★
#region
**問題
113 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/11/13(金) 23:10:42.10 ID:NzCMnLg+0
ABCDEの5人に10問の◯×試験をしたら下の様な回答が帰ってきました
これより各問の正解が◯×どちらであったかを推測して下さい
abcdefghij
A:○××○×○×○×× 8点
B:××○○○××○○× 7点
C:×××○×○××○○ 6点
D:○○○○○×○×○× 5点
E:×○○××○○○×○ 4点
**解答
#region
正解 ○×○○×○×○○×
**解説
正解ならT,不正解ならFとする。
AとBの条件がきついのでそこを中心に考える。
A:○××○×○×○×× 8点
B:××○○○××○○× 7点
の共通部分は2,4,7,8,10番目の5箇所であり、残り1,3,5,6,9番目はAorBの正解だから
合計点数を考えると2,4,7,8,10番目は正解している必要がある。
ここまでで分かる正解 ?×?○??×○?×
これを考慮して残りの1,3,5,6,9番目のみを書いた答案表を書くと
a c e f i
A:○××○× 3点
B:×○○×○ 2点
C:×××○○ 3点
D:○○○×○ 3点
E:×○×○× 3点
こうすればあとは楽だと思います。(答案が近いものを比べます)
BとDを比較して、1番目は○が正解
上を用いてAとEを比較すると、3番目は○が正解
あとはCをみると5,6,9の正解が×○○だと分かる。
以上より
正解 ○×○○×○×○○×
が得られる。
#endregion
#endregion
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*NO.41 帽子の問題 ☆☆☆★★
#region
**問題
118 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/11/13(金) 23:13:01.64 ID:NzCMnLg+0
「ここに黒い帽子2つ、白い帽子3つがある
この中から3つを君達3人に被せるので自分の帽子の色が分かったら宣言しなさい」
そういうと白い帽子3つを3人にそれぞれ被せ、黒い帽子2つを判らない様に隠しました
各人は自分の帽子は見えませんが、他2人の帽子が見えます
他の道具類は使用できません。会話も不可です
数分後、全員が同時に自分は白だと言いました。どの様な推理で宣言したのでしょうか?
--補足
3人の思考は同内容なら同時間で行われるものとする。
**解答
#region
解説通り
**解説
分かってる情報:①他の2人が白である②他の2人が最初は自分の色を宣言しない
自分の色を黒と仮定する
すると他の二人は黒白が見えていることになる
さらにそこで、他の二人の内一人がその人自身の色を黒だと仮定すると
残りの一人が自分の色を白だと判断できることになるが、この時そいつは速攻で分かるので不適となるから
同様にもう一人についても言えて、他の二人は自分が白だという結論に至る
しかし、誰も何も言わないのでそれは違うのだろう。
つまり、自分が黒である仮定は矛盾しているため自分の色が白だと判断する。
この時、他の二人も同様の思考を同時間で行うのでみんな同時に白と答える。
#endregion
#endregion
2012-03-09T18:12:41+09:00
1331284361
-
コメント欄
https://w.atwiki.jp/524287/pages/26.html
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#pcomment(コメント欄ログ,20,nsize=20,size=70,reply,enableurl)
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以下テスト
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**#irc(2210)
2011-12-18T18:11:46+09:00
1324199506
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12110009
https://w.atwiki.jp/524287/pages/75.html
*NO.9-1 東大の過去問 難易度~☆☆★★★
**問題
66 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/29(土) 19:14:09.94 ID:XJP+DC730
10000を素因数に分解すると2^{ア}×5^{イ}
3以上9999以下の奇数aとし、a(a-1)が10000で割り切れるときのaの値を考える。
2は偶数、5は奇数、aとa-1はお互いに素だから、奇数aは{ウ}で割り切れる。
すなわち、ある自然数tとおくと、a={エ}とおける。
またa-1は{オ}で割り切れるので、ある自然数sを用いて、a-1={カ}とおける。
a-1とaは連続する自然数だから、その差は1である。すなわち{キ}=1である。
ここで小さい順に、tの値を考え、それに対して方程式が成り立つものを考えると、
a<10000を満たすことを考えると、t<{ク}である。
この範囲において、成り立つaは{ケコサ}だけである。
-同問
111 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/02/19(木) 22:36:05.94 ID:gvHfYq1k0
3以上9999以下の奇数aで、a^2-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。
**解答
#region
(ア)(イ)4,4 (ウ)(エ)5^4,5^4t (オ)(カ)2^4,2^4s (キ)5^4t-2^4s=1 (ク)16 (ケコサ)625
**解説
(ア)(イ)
10000=10^4=2^4*5^4
(ウ)(エ)
aとa-1は連続した整数であり、aは奇数であるためaが5^4の因数をもたないといけない。
(もし、aとa-1がともに5の因数を持つときaとa-1が連続することに矛盾。
またa-1が5^4の因数をもつ場合もa-1=10000となりa-1>aとなるため不適。)
よって、a=5^4・t
(オ)(カ)
aが奇数よりa-1=2^4s
(キ)
これより5^4t-2^4s=1である。
(ク)
5^4t=a<10000からt<16である。
(ケコサ)
1≦t≦15であり、それぞれのtについて対応するsが存在するかを確かめる。
5^4t-1=2^4sとして
t=1→624÷16=39よりs=39の時に成立。よってa=625
-補足
(625t-1)÷16=(624+625(t-1))÷16で625(t-1)/16が割り切れるtはt>2の時t=17が最小となるがこれは、tの範囲に含まれず不適。
#endregion
*NO.9-2 因数分解による単純化 難易度~☆☆★★★
**問題
245 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/30(日) 00:14:45.32 ID:rxIZ782y0
ある自然数x、y、zが、xyz=x^2z+xzを満たすとき、
yz^2-xy^2z+xy^2-xz^2+x^2yz-x^2y=kと定義される方程式を
考える。ただしkは自然数である。
z<yとする。kの最小値とそのときのx、y、zの値を求めよ
**解答
#region
k=1,(x,y,z)=(n,n+1,1)(nは任意の自然数)
**解説
xyz=x^2z+xzはxzで割ってy=x+1にしておきましょう。
yz^2-xy^2z+xy^2-xz^2+x^2yz-x^2y=k
(y-x)z^2-xy(y-x)z+xy(y-x)=k
(y-x)(z^2-xyz+xy)=k
最初の条件よりy-x=1なので
z^2-xyz+xy=k。z<yがあるのでx=y-1を代入
z^2-y(y-1)z+y(y-1)=k
z^2+yz-y=k
(z+y+1)(z-1)+1=kより
これよりz=1の時k=1で最小(kは自然数)
また、x,yはy-x=1以外の制約を受けない。
よってk=1,(x,y,z)=(n,n+1,1)(nは自然数)
#endregion
*NO.9-4 素数と因数 ~難易度☆★★★★
**問題
307 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/30(日) 15:11:20.40 ID:hRBsSGH10
(1)
p=m^n-n^n(p,mは素数,nは自然数)を満たす(p,n,m)の組を全て求めよ。
(2)
p^qr=q^r+r^q(p,q,rは素数)を満たす(p,q,r)の組を全てもとめよ。
**解答
#region
(1)(5,3,2) (2)なし
**解説
(1)
n=akとすると(a,k共に2以上の自然数)
p=(m^a-n^a)(m^a(k-1)+…+n^a(k-1))
=(m-n)(m^(a-1)+…+n^(a-1))(m^a(k-1)+…+n^a(k-1))
と因数分解される。ため不適。よってnは、素数。
また、その場合でもm-n=1でないとpが素数の条件に反するからm-n=1。
これよりp=(n+1)^n-n^n(p,m,nは素数)と置き換えられる。
n+1とnが共に素数であるのはn=2の時のみ。
このときp=5で成立するから(5,3,2)が答え。
(2)
p^qr=q^r+r^q(p,q,rは素数)
まず、pが奇数ならqとrのうちいずれかは偶数である。
そこで、r=2とすると
p^2q-q^2=2^q
(p^q-q)(p^q+q)=2^q
ここで、q=m+nとして
p^q-q=2^mとして、p^q+q=2^nとおける。(n>m)
2q=2^n-2^m
q=2^(m-1)(2^(n-m)-1)
qは素数よりm=1である。
これよりp^q-q=2
p^q=2+qをp^2q-q^2=2^qに代入して計算して
q+2=2^(q-1)
しかし、qが奇数の時左辺奇数右辺偶数より矛盾。
これよりqは偶数だが、これは最初の条件に反する。よってpが奇数の時解は存在しない。
また、pが偶数ならqとrは共に偶数であるがこれは(2,2,2)のみで
2^4≠2^2+2^2より上の式を満たさない。
これより、pが偶数の時も解は存在しない。 これより、解なし。
#endregion
*NO.9-5 図形と整数問題融合 ~難易度☆☆★★★
**問題
44 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/08/01(土) 21:43:29.59 ID:8UXwx5Ns0
三角形ABCにおいて、∠B = 60◦でその対辺の長さbは整数、他の2辺の長さa、cが
いずれも素数であるとき三角形ABCは正三角形であることを示せ (京大・理)
**解答
#region
略
**解説
a,c>bだと∠A+∠C+∠B>3∠B>180°で矛盾。
a,c<bだと∠A+∠C+∠B<3∠B<180°で矛盾。
これらよりa≦b≦c or c≦b≦aであるので
a≦b≦cとしても一般性を失わない。…①
余弦定理より
b^2=a^2+c^2-ac
b^2-a^2=c(c-a)…②
(b+a)(b-a)=c(c-a)でc>b-a、(∵①)cは素数より
(b+a)=ck(kは自然数)とおける。…③
②に③を代入してbを消去すると
ck(ck-2a)=c(c-a)から
k(ck-2a)=c-aより
c(k+1)(k-1)=a(2k-1) (この式よりk≠1としてよい。)…④
この時、c/a=(2k-1)/(k+1)(k-1)≧1(∵c≧a)が必要条件で
これを満たすkは
2k-1≧k^2-1より0≧k(k-2)より0≦k≦2
kは自然数であり、さらに④よりkはk=2に限る。
この時④にk=2を代入して
3c=3aよりa=c…⑤
⑤を①に代入してb=a…⑥
⑤,⑥よりa=b=cなので△ABCは正三角形である。
#endregion
*NO.9-6 因数分解形を無理矢理作る ~難易度★★★★★
**問題
19 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/09/03(木) 01:33:32.39 ID:pQ4fHd1sO
a^2+2=b^3を満たす正整数の組(a,b)を全て求めてください
**解答
#region
a=5,b=3
**解説
a=5,b=3で成立するから両辺-27で
(a-5)(a+5)=(b-3)(b^2+3b+9)=(b-3)((b-3)^2+9(b-3)+27)
b-3と((b-3)^2+9(b-3)+27)についてb-3が3の倍数でなければ互いに素。
a-5とa+5について共役数が存在するとすれば10か5か2のみ。と共役数が少ないので互いに素に
持ち込めそう。
a-5=s,b-3=tとおいて考える。(s≧-5,t≧-3)
s(s+10)=t(t^2+9t+27)
s>0,t>0としてsとtの最大公約数をkとしてs=ks',t=kt'とすると
s'(ks'+10)=t'((kt')^2+9(kt')+27)
s'とt'は互いに素より
ks'+10=t'…①
s'=(kt')^2+9(kt')+27…②
①を②に代入して
(t'-10)/k=(kt')^2+9kt'+27で
k^3t'^2+(9k^2-1)t'+27k+10=0
D=(9k^2-1)^2-4k^3(27k+10)
=-27k^4-40k^3-18k^2+1<0で解なし。
また、sが負の時は左辺負より右辺負であり、
t^2+9t+27>0(∵81-27*4<0)だからtも負。
∴s,t>0は不適で、s,t<0 or s=t=0のみを考えればよい。
s<0,t<0⇔1≦a≦4,1≦b≦2でこの場合を考えると
b=1でa^2+2=1は不適,b=2でa^2+2=8で不適。
∴s=t=0の時(a=5,b=3)のみ成立。
#endregion
*NO.9-7 整数問題の基礎 ~難易度☆☆☆★★
**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/13(木) 21:05:01.55 ID:T61Uw26i0
xy=x+yがx,yが整数で成立する組数はいくつ?
**解答
#region
2つ
**解説
因数分解して簡単にします。
xy-x-y=0
(x-1)(y-1)-1=0
(x-1)(y-1)=1
これを満たすのは、(x-1,y-1)=(1,1)(-1,-1)のみ。
よって(x,y)=(2,2)(0,0)の二組。
#endregion
*NO.9-8 因数分解 ~難易度☆☆☆★★
**問題
127 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/05/25(月) 00:31:40.22 ID:ek549/iT0
俺も出題します
2桁の自然数Aの一の位の数字をbとするとき
A^2-b^2=2080
がなりたつ。bは次のうちどれか(地上)
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
**解答
#region
C
**解説
左辺因数分解,右辺素因数分解して
(A+b)(A-b)=2^5*13*5
A-bが十の倍数であるから
(A+b)(A-b)=2^4*13*10
右辺が偶数よりA+b,A-bはともに偶数であることとA+b≧A-b,A+b-(A-b)<20に注意すると
(A+b,A-b)=(52,40)に限り、
この時、A=46でb=6
#endregion
*NO.9-9 因数分解形 ~難易度☆☆★★★
**問題
222 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/06/20(土) 22:27:28.65 ID:9k7dJNKV0
じゃあ去年うちの大学(理系)で出た問題を
X,Yを正の定数とするとき
1. 2/X+1/Y=1/4 を満たす組(X,Y)をすべて求めよ。
2. pを3以上の素数とする。2/X+1/Y=1/pを満たす組(X,Y)のうち、
2X+3Yを最小にする(X,Y)を求めよ。
**解答
#region
226 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/06/20(土) 22:33:10.77 ID:SkP6cnBf0
1.(9,36)(10,20)(12,12)(16,8)(24,6)(40,5)
233 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/06/20(土) 22:40:54.43 ID:SkP6cnBf0
>>231
自己レス。最大と間違えた。
X=4p
Y=2p
**解説
(1)は高校入試でもみかける超有名問題。
両辺4XY倍して
8Y+4X=XYから(X-8)(Y-4)=32で32=2^5より
(X-8,Y-4)=(1,32)(2,16)(4,8)(8,4)(16,2)(32,1)が考えられる
(X-8,Y-4<0の時は存在しない)このとき、
(X,Y)=(9,36)(10,20)(12,12)(16,8)(24,6)(40,5)
(2)もpXY倍して
2pY+pX=XYより
(Y-p)(X-2p)=2p^2と変形される。
pが素数より
(X-2p,Y-p)=(1,2p^2)(2,p^2)(p,2p)(2p,p)(p^2,2)(2p^2,1)が考えられ、
2X+3Y=2(X-2p)+3(Y-p)+7pの最小値は
2(X-2p)+3(Y-p)が最小値をとる時でそれぞれ
2+6p^2,4+3p^2,2p+6p,4p+3p,2p^2+6,4p^2+3であり、
2+6p^2,4+3p^2,4p^2+3>2p^2+6であるから
7pと2p^2+6の比較だが、7p<2p^2+6より7pで最小。
この時(X-2p,Y-p)=(2p,p)より
(X,Y)=(4p,2p)
#endregion
#endregion
2011-06-05T23:48:31+09:00
1307285311
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210131
https://w.atwiki.jp/524287/pages/149.html
*①
(1)
sina°=sina(0≦a≦180)を満たすaはいくつあるか?
(2)
y=sinx°とy=sinxが接することはあるか?あるなら1つ例を示し、ないならそれを示せ。
*②
sinθ+cosθ=k=√2sinαを満たす時、(k,αは定数)
(1)A_n=sin^nθ+cos^nθの値をα,nを用いて表せ
(2)A_nの値をk,nを用いて表せ
*③
xy平面において
中心がx座標が十分に小さいある点から速さvでy=tanθx上をx軸正方向へ動く半径rの円Cおよび
x軸上に長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分が長さ1の間隔で
以下の図のように無限に並んでいる非連続直線Dを考える
…― ― ― ― ―…
この時円Cが上手くDを通り抜けることで、円CがDと内部を共有することなく
(ただし、周の共有は許す)(円のy座標)≧rの地点に到達することができたという。
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
*④
△ABC_[1]について、AB_[1]=c_[1]=c,BC_[1]=a_[1]=a,CA_[1]=b_[1]=bとおく。
同様に、自然数nについて定義された△ABC_[n]について、AB_[n]=c_[n],BC_[n]=a_[n],CA_[n]=b_[n]とする。
また、任意のnに対して△ABC_[n]と△ABC_[n+1]は以下の条件を満たす。
点A_[n]から直線BC_[n]に下ろした垂線の長さをa_[n+1]
点B_[n]から直線CA_[n]に下ろした垂線の長さをb_[n+1]
点C_[n]から直線AB_[n]に下ろした垂線の長さをc_[n+1]
c=1の時以下の問に答えよ。
(1)△ABC_[1]が作られているためのa,bの条件を求めよ。
(2)△ABC_[n]が任意のnで作られているためのa,bの条件を求め、それを(a,b)グラフとして図示せよ。
*⑤
面積S_nの正n(n≧3)角形の全ての辺について、その辺からα(rad)(0<α<π(1/2-1/n))だけずれた直線を引き、
その直線により囲まれる図形の面積をS'_nとする。
S=lim(n→∞)S'_n/S_nをαを用いてあらわせ。
*⑥
半円:y=√(1-x^2)に一点とy=0(-1≦x≦1)に一点を接して
隣同士互いに外接するn個の円の半径を中心のx座標が小さい順にr_k[k=1,n]とする時
(1)Σ[k=1,n]1/r_kの最小値m_nを求めよ
(2)m_nが有理数となるnをすべて求めよ
2011-02-01T11:05:08+09:00
1296525908