数学の問題集 in VIP@wiki
http://w.atwiki.jp/524287/
数学の問題集 in VIP@wiki
ja
2013-04-06T03:54:13+09:00
1365188053
-
12120009
https://w.atwiki.jp/524287/pages/179.html
二次関数
**問題
F(x)=5*(sin x)^2-10*a*sin x-n
a,xは実数,nは自然数とする。
一般的なnについて,F(x)=0の解が存在するのはaがどのような値をとるときか。
2013-04-06T03:54:13+09:00
1365188053
-
12230018
https://w.atwiki.jp/524287/pages/178.html
*NO.18-1 センター試験ⅠA-4
**問題
暇だったから作った 不適切なら削除してください
袋の中に赤玉5個、白玉5個、黒玉1個の合計11個の玉が入っている。
赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が一つずつ書かれており、黒玉には何も書かれていない。
なお、同じ色のたまには同じ数字は書かれていない。
この袋から同時に5個の玉を取り出す。
5個の玉の取り出し方は[ アイウ ]通りある。
取り出した5個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が2組あれば得点は2点、
1組だけあれば得点は1点、1組もなければ得点は0点とする。
(1) 得点が0点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは[ エオ ]通り
であり、 黒玉が含まれていないのは[ カキ ]通りである。
得点が1点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは[ クケコ ]通り
であり、黒玉が含まれていないのは[ サシス ]通りである。
(2) 得点が1点である確率は[ セソ ]/[ タチ ]であり、2点である確率は[ ツ ]/[ テト ]
である。
また、得点の期待値は[ ナニ ]/[ ヌネ ]である。
**解答
#region
&br() アイウ 462 (4点)
&br() エオ 80 (3点)
&br() カキ 32 (3点)
&br() クケコ 120 (3点)
&br() サシス 160 (3点)
&br() セ~チ 20/33 (3点)
&br() ツ~ト 5/33 (3点)
&br() ナ~ネ 10/11 (3点)
&br()
**解説
&br() アイウ 11C5=462
&br() エオ 4種類の数字を選ばないといけない
&br() その4種類の数字の選び方は 5C4=5通り
&br() 4個の玉についてそれぞれ赤・白どちらかを選ぶので2^4=16通り
&br() よって 5*16=80通り
&br() カキ 1の玉の赤/白、2の玉の赤/白、…5の玉の赤/白という風にして
&br() 5個の玉を選んでいくことに同義(上のエオもそういう意味)
&br() よって 2^5=32通り
&b
2010-01-20T23:43:46+09:00
1263998626
-
12111015
https://w.atwiki.jp/524287/pages/177.html
*NO.15-1 センター試験ⅠA-1
**問題
暇だったから作った 不適切なら削除してください あとタイトルミスった
α=(√7-√3)/(√7+√3)とする。αの分母を有理化すると
α=([ ア ]-√[ イウ ])/[ エ ]
となる。
2次方程式 6x^2-7x+1=0の解は
x=[ オ ]/[ カ ] , [ キ ]
である。
次の(0)~(3)のうち最も小さいものは[ ク ]である。
(0) ([ ア ]-√[ イウ ])/[ エ ] (1) [ エ ]/([ ア ]-√[ イウ ])
(2) [ オ ]/[ カ ] (3) [ キ ]
**解答
#region
&br() ア~エ α=([ 5 ]-√[ 21 ])/[ 2 ] (3点)
&br() オ~キ x =[ 1 ]/[ 6 ] , [ 1 ] (2点)
&br() ク (2) (3点)
&br()
**解説
&br() ア~エ αの分母分子に(√7-√3)をかけて計算
&br() オ~キ x=1はすぐに見つかると思うので、もう1つの解をyとすると解と係数の関係を使って
&br() 1*y=1/6 ∴y=1/6
&br() ク 5-√21は大体5-4.5で0.5くらい
&br() これを使って計算すると
&br() (0)→0.5/2=0.25 (1)→2/0.5=4 (2)→1/6=0.166… (3)→1
&br() よって(2)が一番最小
#endregion
2010-01-25T18:19:55+09:00
1264411195
-
12111014
https://w.atwiki.jp/524287/pages/176.html
*NO.14-1 大小比較 ★3
**問題
59 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2010/01/08(金) 17:11:50.40 ID:XXUGoCq00
息抜きにどうぞ
つ (2008/2009)^2009 と (2009/2010)^2010 の大小を比較せよ
**解答
#region
(2008/2009)^2009<(2009/2010)^2010
**解説
>>関数化して一般化して考える
f(x)=((x-1)/x)^x=(1-1/x)^xのx=2009の時とx=2010の時の大小を比較する。
以下x>1について考える。
f'(x)=(e^xlog(1-1/x))'=e^xlog(1-1/x)*(xlog(1-1/x))'
=e^xlog(1-1/x)*(log(x-1)+x/(x-1)-1-logx)
=e^xlog(1-1/x)*(log(1-1/x)+1/(x-1))…★
g(x)=log(1-1/x)+1/(x-1)=log(x-1)-logx+1/(x-1)
g'(x)=1/(x-1)-1/x-1/(x-1)^2=(x(x-1)-(x-1)^2-x)/x(x-1)^2=-1/x(x-1)^2<0…①
lim(x→+∞)g(x)=0…②
①,②よりg(x)>0
これとe^xlog(1-1/x)>0より
★式についてf'(x)>0が示される
これよりf(x)はx>1で増加関数より
f(2009)<f(2010)
∴(2008/2009)^2009<(2009/2010)^2010
#endregion
2010-01-08T23:23:52+09:00
1262960632
-
12230017
https://w.atwiki.jp/524287/pages/175.html
*NO.17-1 サイコロの反復 ★4
**問題
155 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2010/01/07(木) 11:56:58.33 ID:oMo7T4o90
簡単かもしれないけど意外と迷った問題
サイコロを2n回投げて、n回以上偶数が出る確率は?
**解答
#region
1/2*(1+2nCn/2^(2n))
**解説
まず、偶数がn+1回以上でる確率と奇数がn+1回以上でる確率は等しい
(∵偶数と奇数のでる確率が等しい)
つまり、偶数がn+1回以上出る確率と偶数がn-1回以下の確率は等しい…①
偶数がn回でる確率は
2nCn*(1/2)^n*(1/2)^n=2nCn/2^(2n)…②
①,②より
偶数がn+1回以上でる確率は
(1-2nCn/2^(2n))*1/2+2nCn/2^(2n)
=1/2*(1+2nCn/2^(2n))
#endregion
2010-01-08T01:12:23+09:00
1262880743
-
12111013
https://w.atwiki.jp/524287/pages/174.html
*NO.13-1 円周率の評価 ★4
**問題(元ネタは東大'03)
13 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2010/01/07(木) 00:11:56.85 ID:5nmEyT3M0
円周率は3.05より大きいことを証明せよ
**解答
#region
解説参照
**解説
(超有名問題なのですが一応…)
円と正多角形を書く方法とか色々あるんですが…
あえて、無意味な解法で
π=4Σ[k=1,∞](-1)^(k-1)/(2k-1) (証明は[[210152]]の2番)
を用いて以下の不等式から題の不等式が示される
π>4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21-1/23)
>3.05
#endregion
2010-01-08T00:31:20+09:00
1262878280
-
12210015
https://w.atwiki.jp/524287/pages/173.html
*N0.15-1 正方形の分割 ~★3
**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/11/10(火) 16:05:32.43 ID:o4zxNs3Q0
これ解けるか?
正方形ABCDがある
辺BC,CD,DAそれぞれの中点をP,Q,R,とおく
辺ABを三等分した点をそれぞれS,Tとおく
正方形ABCDの内部に適当においた点Uと点P,Q,R,S,Tをそれぞれ結ぶ
この時できる四角形の面積はそれぞれ
ASUR=216 TBPU=324 CQUP=378 DQUR=270である
この時、三角形STUの面積を求めよ
文字にするとわけわかんなくなっちゃうけど
絵にするとわかりやすいからやってみて!
#image(正方形.JPG)
**解答
#region
108
**解説
#image(解答用.JPG)
上図の正方形について
正方形ABCDの一辺の大きさをxとおき
MU=xt,UO=x(1-t),NU=xs,PU=x(1-s)のように置くと
ASUR=△AUS+△ARU=sx^2/6+tx^2/4=x^2(2s+3t)/12=216…①
TBPU=△TUB+△BUP=sx^2/6+(1-t)x^2/4=x^2(3-3t+2s)/12=324…②
CQUP=△PUC+△CUQ=(1-t)x^2/4+(1-s)x^2/4=(2-t-s)x^2/4=378…③
DQUR=△DUQ+△DUR=tx^2/4+(1-s)x^2/4=(1-s+t)x^2/4=270…④
①,②,③,④の連立方程式を解けばよい。
①+②と③+④より
x^2(3+4s)=12*540…⑤
x^2(3-2s)=4*648…⑥
⑤+2*⑥より
x^2*9=12*540+8*648=24*486
x^2=8*162=2^4*3^4
∴x=36
あとは、sの値を求めればよい。
⑤より
3-2s=4*648/36^2=2
∴s=1/2
以上より
△STU=1/2*x/3*xs=36*36*1/2*1/6=108
#endregion
2009-12-20T20:45:41+09:00
1261309541
-
数学用公式集
https://w.atwiki.jp/524287/pages/172.html
有名公式・定石を纏める
左のメニューから進んでください
2009-11-27T17:06:16+09:00
1259309176
-
12160008
https://w.atwiki.jp/524287/pages/171.html
*NO.8-1 積分 ~難易度☆☆★★★
**問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/06/24(水) 10:29:01.75 ID:1aHQbrpU0
∫0~π((exp(x))(sin x)^2乗)dx > 8
-補足
これを証明せよ。また、exp(x)=e^x,e=2.7…,π=3.14…
**解答
#region
解説通り
**解説
∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx>8を示す。
<<部分積分(循環型)>>
左辺=∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx=∫(0→π){e^x(1-cos2x)/2}dx
=∫(0→π){e^x/2}dx-I_1(I_1=∫(0→π){cos2x)/2}dxとおく)
(I_1=[e^xsin2x/4](0→π)-∫(0→π){e^xsin2x/4}dx
=[e^xcos2x/8](0→π)-∫(0→π){e^xcos2x/8}dx
=(e^π-1)/8-I_1/4
∴I_1=(e^π-1)/10より)
=(e^π-1)/2-(e^π-1)/10
=2(e^π-1)/5
よって、
∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx>8
⇔e^π-1>20
⇔e^π>21 ・・・①
<<一次近似>>
これはe^xのx=3での接線を考えて
y=e^3(x-3)+e^3
=e^3x-2e^3
x=πを代入して、またe^xは常に下に凸であるので
y=(π-2)e^3<e^πを満たす・・・②
②より
e^π>2.7^3*1.14>19.68*1.14>22.43>21が示される。
これより①も示された。
以上より∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx>8
-補足
東大の過去問らしいです。
#endregion
2009-11-08T01:12:20+09:00
1257610340
-
210152
https://w.atwiki.jp/524287/pages/170.html
-配点(200点満点)
①30点②(1)10点(2)10点(3)10点③40点④35点⑤35点⑥(1)15点(2)15点
-解答
①k(2-k)/2(1-k)
②(1)1/(n+1) (2)(3)解説参照
③nが4で割って2で余る数でない自然数
④n=1で、4面体 n≧2で、3*2^(n-1)+2面体
⑤第二象限
⑥(1)S[m](n)=(m+n-1)Cm (2)a=1/2の時1/e
-各問の予備知識と難易度
①積分 ☆☆☆★★
②(1)∫(0→π/4)(tanθ)^n dθ,漸化式 ☆☆★★★
(2)(3)極限 ☆☆★★★
③塗り分けの論証法,(帰納法) ★★★★★
④漸化式(漸化式の定義域),空間図形 ☆★★★★
⑤はさみうちの原理 ★★★★★
⑥(1)帰納法,数列 ☆☆★★★(2)区分求積法(log),極限 ☆★★★★
-解説
-問題.一
D:y≧0,y≦cosx,y≦a(k)*sinx の領域Dの面積がkとなるようにa(k)の式を求めよ。
y=cosxからDじゃない部分を引くと考える。
y=a(k)*sinxとy=cosxの交点のx座標をαとおくとa(k)=1/tanαで
y=cosxからDを除いた面積は
1-k=∫[0→α]{cosx-a(k)*sinx}dx=[sinx+a(k)cosx](0→α)
=(sinα+a(k)cosα)-a(k)
a(k)+1-k=sinα+a(k)*cosα
=cosα(a(k)+tanα)
=(1/tanα+tanα)/√(1+tanα^2)
=√(1+tanα^2)/tanα
a(k)+1-k=√(1+a(k)^2)…①
①を両辺二乗して
a(k)^2+2(1-k)a(k)+(1-k)^2=1+a(k)^2
∴a(k)=k(2-k)/2(1-k)
-問題.二
nを0以上の整数としてI_nをI_n=∫(0→π/4)(tanx)^n dxとする時
以下の問に答えよ。
(1)I_n+I_(n+2)をnを用いて表せ
(2)π=4*Σ[n=1,∞](-1)^(n-1)/(2n-1)を示せ
(3)e=2^(1/Σ[n=1,∞]
2009-11-27T15:56:33+09:00
1259304993