数学の問題集 in VIP@wiki

数学の問題集 in VIP@wiki内検索 / 「12160009」で検索した結果

• 12160004
  NO.1-1　面積の計算 ～難易度☆☆☆★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/12(日) 21 41 38.71 ID U4wuXEcQ0 a,bを正の定数とする。2つの曲線 y=x^3+bx^2, y=ax^2+abxによって囲まれる 2つの部分の面積の和をSとする。 1)Sをa, bで表せ 2)a+b=1のとき、Sを最小にするa, bの値と、そのときのSの値を求めよ。 解答 +... (1)S=(a^4+b^4)/12+ab(a^2+b^2)/6 (2)a=b=1/2,S=1/32 解説 (1) とりあえず交点の座標は x^3+bx^2=ax^2+abx x(x^2+bx)=a(x^2+bx)から x(x-a)(x+b)...
• 12160008
  NO.8-1　積分 ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/24(水) 10 29 01.75 ID 1aHQbrpU0 ∫０～π（（exp（x））（sin　x）＾2乗）ｄｘ　＞　８ 補足 これを証明せよ。また、exp(x)=e^x,e＝2.7…,π=3.14… 解答 +... 解説通り 解説 ∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx 8を示す。 部分積分(循環型) 左辺=∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx=∫(0→π){e^x(1-cos2x)/2}dx =∫(0→π){e^x/2}dx-I_1(I_1=∫(0→π){cos2x)/2}dxとおく) (I_1=[e^xsin2x/4](0→π)-∫(0...
• 極限・微分・積分
  ...問 NO.12160009　部分積分　１問
• 12160006
  問題 77 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/07/20(月) 01 20 44.89 ID MAjApoqj0 ∫x^2/（1+e^x）ｄｘ[-1→1] 解答 +... 1/3 ∫f(x)dx[-a→a]=1/2∫(f(x)+f(-x)dx[-a→a] 1/(1+e^x)+1/(1+e^-x)=1　を利用して f(x)+f(-x)=x^2{1/(1+e^x)+1/(1+e^-x)}=x^2 よって(与式)=1/2∫x^2dx[-1→1]=∫x^2dx[0→1]=1/3
• 12160007
  NO.7-1 体積 ☆☆★★★ 問題 23 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/07/27(月) 20 51 22.21 ID EVaf5WO3O xyz空間において、四面体ＯＡＢＣを (i)２点Ａ,Ｂは原点Ｏを中心とするxy平面上の単位円上にある (ii)点Ｃはz軸上にある (iii)∠ＡＣＢ=α(0 α π) を満たすもののうち、体積が最大であるものとする。 四面体ＯＡＢＣの体積をV(α)とおく。 α→0としたとき、αV(α)の極限値を求めよ。ただし、原点をＯとする。 解答 +... 4√3/27 解説 A(1,0),B(cosθ,sinθ),C(0,c)とすると △ABCにおける余弦定理より (2sin(θ/2))^2=2(1+c^2)...
• 12160005
  NO.5-1　数列と極限 ～難易度☆★★★★ 問題 333 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/03(火) 01 41 17.27 ID vDALqt+20数列a[n]において a[n+1]=(p)^(a[n])、a[1]=p のとき、lim[n→∞]a[n]が有限値に収束する実数ｐの 最大値を求めよ 解答 +... 解説 (1) NO.5-2　数列と極限 ～難易度★★★★★ 問題 228 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2011/07/15(金) 22 13 18.13 ID gEpLjUrQ0 数列{a[n]}を以下のように定める。 a[1]=1 , a[2]=√2 a[n+2]=|a[n+1]-a[n]|...
• 12160001
  NO.1-1　極値の差 ～難易度？ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/25(土) 17 04 17.41 ID V5pa72FP0 3次関数f(x)=x^3+ax^2+bx(a,bは実数)がx=p,q(p＞0＞q)で極値を持ち、極大値と極小値の差が4である。 (1)p-qの値を求めよ (2)xy平面上の2点(p,f(p))、(q,f(q))を通る直線lとy軸の交点をR(0.Y)とする。Yの取りうる値の範囲を求めよ。 解答 +... (1)p-q=18/(a^2-3b) 解説 f(q)-f(p)=4 f (q)=0,f (p)=0 ここで、f (x)=3x^2+2ax+bから f(x)=(3x^2+2ax+b)(x/3+a/9)-(b/3+2a^2/...
• 12160003
  NO.3-1　図形と極限と漸化式 ～難易度☆☆★★★ 問題 787 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/12/14(日) 02 43 02.92 ID eJSG+c0j0 さっき作った数学の問題晒しときます xy座標上に点C_1(0,0)と点A(1,0)と点B_1(0,s)をとる。(s＞1) また、点B_n(0,s^n)として、点C_nから直線AB_nに下ろした垂線の足の点を点C_(n+1)と定め、C_n=(X_n,Y_n)とした時、lim(n→∞)Y_nを求めよ。 解答 +... 0 解説 Y_n=-s^n(X_n-1)は任意のnで満たします。 また、(X_n,Y_n)からAB_(n+1)に垂線を下ろした時の交点(X_(n+1),Y_(n+1))は Y_(n+1)=1/s...
• 12160002
  問題 34 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 22 46 36.30 ID Drf1jY9b0 ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f ７階微分を求めよ。 解答 +... 0 (x^5) =5x^4と一回微分すると次数が1減るから 7回減れば次数0で0になる。 他の項でも同様。
• 12110009
  NO.9-1 東大の過去問 難易度～☆☆★★★ 問題 66 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 19 14 09.94 ID XJP+DC730 10000を素因数に分解すると2＾{ア}×5＾{イ} 3以上9999以下の奇数ａとし、ａ（ａ－1）が10000で割り切れるときのａの値を考える。 2は偶数、5は奇数、ａとａ－1はお互いに素だから、奇数ａは{ウ}で割り切れる。 すなわち、ある自然数ｔとおくと、ａ＝{エ}とおける。 またａ－1は{オ}で割り切れるので、ある自然数ｓを用いて、ａ－1＝{カ}とおける。 ａ－1とａは連続する自然数だから、その差は1である。すなわち{キ}＝1である。 ここで小さい順に、ｔの値を考え、それに対して方程式が成り立つものを考えると、 ａ＜10000を満たす...
• 12110000
  1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/23(金) 15 05 57.78 ID eAj8iA0b0 a^3-b^3-c^3=21 を満たす整数a,b,cを求めてください 　 54 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 23 15 51.52 ID GYodBiaLP 【問題】 数Aを4444の4444乗とする Aの各桁の数の和をBとする Bの各桁の数の和を求めよ 補足 +... この問題は以下の問題の間違いだと思われる。 数Aを4444の4444乗とする Aの各桁の数の和をBとする Bの各桁の数の和をCとする Cの各桁の数の和を求めよ 解答 +... 7 解説 求める数をD...
• 12110007
  公式 最大公約数と最小公倍数の関係～任意の自然数a,bについてそれらの最小公倍数をg,最大公約数をGとして、a=a g,b=b gとなるようにa ,b を定めると(a とb は互いに素) 　　この時、最大公約数と最小公倍数の関係は以下のように表される。 G=a b g a とb の最小公倍数は、a とb が互いに素だからa b です。 　　　　　　　　よって、a gとb gの最小公倍数はa b gとなります。 NO.7-1 最小公倍数と最大公約数 難易度～☆☆★★★ 問題 6 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 18 00 43.88 ID XJP+DC730 制限時間14分　難易度３（実戦基礎） 　たてがａ、よこがｂ（ａ＜ｂ）の長方形を隙間なく並べて、面積が最小の正方形...
• 12111009
  NO.19-1　相反方程式 ～難易度☆☆★★★ 説明 相反方程式が使えるのは限られたケースにおいてのみです。 (x+a/x)^2+p(x+a/x)+q=0を展開して x^4+px^3+(q+2a)x^2+apx+a^2=0 これより、x^4の係数 x^0の係数=1 a^2,x^3の係数 xの係数=1 aの時に相反方程式の解法が使えます。 つまり、x^0の係数/x^4の係数=(xの係数/x^3の係数)^2の時に使えます。 問題 (1) 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/06(金) 02 28 58.65 ID 8cTUeJQtO x^4+3x^3-2x^2+3x+1=0の実数解を求めよ (2) 64 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/05(日) 21 16 14.52 ID hWQ...
• 12110008
  説明 約数の個数の公式～任意の自然数kで定まるa_kは互いに異なる素数を表しb_kを自然数とする。 　 　　　この時、自然数Π[k=1,m](a_k)^(b_k)の約数の個数は (b_m+1)*(b_(m-1)+1)*…*(b_1+1)個 (=Π[k=1,m](b_k+1)個) なぜこうなるかというと、例えばN=2^3*3^2の時の約数は2^m*3^nで表されます。 　　　　　　　　　ここで、mの選び方は0～3,nの選び方は0～2通り。 　　　　　　　　　この組み合わせを掛け合せて(3+1)(2+1)=12通りです。 　　　　　　　　　このようにしてそれぞれの素数についてのm乗の選び方 　　　　　　　　　の組み合わせを求めます。 約数の総和の公式～任意の自然数kで定まるa_kは互いに異なる素数を表しb_kを...
• 12210009
  NO.9-1 内心の性質 ～難易度☆☆★★★ 問題(自作) 三角形ABCの内心をIとして AIとBCの交点を点Dとして以下同様にして点E,点Fをとる。 AI ID=3 2,BI IE=4 3とする。 (1)AB BC CAを求めよ。 (2)CI IFを求めよ。 解答 +... (1)6 14 15 (2)29 6 解説 内心ということから、角の二等分線を色々な見方で使う問題です。 (1)角の二等分線の公式より AI ID=AB BD=AC CD=3 2 BI IE=BC CE=BA AE=4 3 この結果を纏めます。 (AB+AC) (BD+CD)=(AB+AC) BC=3 2より(ⅰ)3BC=2(AB+CA) 同様にして(ⅱ)4CA=3(AB+BC)が導かれます。 ...
• 12120007
  NO.4-1 定点　～難易度☆☆☆★★ 問題 13 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/05/09(土) 15 31 32.60 ID DIUJP/7i0 kがk≠-√2を満たす定数であるとき x^2+y^2-1+k(x-y-√2)=0はkの値に関わらず定点Aを通る。定点Aの座標を求めよ。 解答 +... A(1/√2,-1/√2) 解説 kの値に関わらずということは、恒等式の考え方を用いて x^2+y^2-1=0…① x-y-√2=0…②をともに満たす(x,y)がAである。 あとは、y=x-√2を①に代入して x^2+(x-√2)^2-1=0 2x^2-2√2x+1=0 (√2x-1)^2=0より x=1/√2,②に代入してy=-1/√2...
• 12110004
  NO.4-1 数の大小 ～難易度☆★★★★ 問題 48 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2008/11/05(水) 02 19 01.63 ID zPq0YMmyO もう１問 素数Ｐとその素数より小さい素数全ての積に１を加えたものＱはどちらが大きいか 解答 +... Ｑ 解説 ・Ｐ＜Ｑであることは、適当な数を当てはめることで容易に定められる。 ・Ｐより小さい素数の中で、最大のものをＡとする。 　また、Ｐより小さい素数（つまり、Ａ以下の素数）全ての積をＢとする。 　 　いま、Ｑ≦Ｐであると仮定する。………① 　このとき、 　 　Ａ＜Ｂ－１＜Ｂ＜Ｂ＋１＝Ｑ≦Ｐ………② 　が成り立つ。 　Ａより大きい最小の素数はＰであるため、 　②を満たす（Ｂ－１）は合成数であり、 　（Ｂ－１）より小さい何らかの素数、...
• 12110012
  12-1　合同式を利用した整数問題 ～難易度☆★★★★ 問題 8 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/10(火) 00 15 46.13 ID 3FBaKJZe0 x^2+y^2=2009を満たす自然数組(x,y)をすべてもとめよ 解答 +... (x,y)=(28,35)(35,28) 解説 右辺は2009＝41*7^2より左辺も7の倍数。 以下合同式の法を7とする。 x≡a(mod7)の時(-3≦a≦3とする)←(a=0～7でもよいが計算の簡略化のため) x^2≡f(a)(mod7)とおくと f(0)≡0,f(1)≡f(-1)≡1,f(2)≡f(-2)≡4,f(3)≡f(-3)≡2である。 x^2+y^2≡0を満たすx,yは上の結果からともに7の倍数でな...
• 12110001
  NO.1-1　有理数解 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/26(日) 19 00 55.49 ID 5reyIu1Z0 a＾3＋b＾3＝17　(a,bは有理数) a,bを求めよ 解答(不完全) +... {a,b}={-1/7,18/7}(他にもあるかも) 解説 mod7で考えると矛盾するので、a,bは分母が7の倍数であると推測できる。 参考 http //www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/ec/eca1/index.htm NO.1-2　p^q=q^pの問題 問題((2)は有名問題を改題) (1) 23 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/16(月) 20 29 12...
• 12130007
  NO.7-1　テイラー展開? ～難易度★★★★★? 問題 45 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2008/11/05(水) 02 15 36.19 ID w0+jQx6fO 自然対数の底ｅの小数第２位の値は１であることを示せ。 予想解答 +... テイラー展開を用いて e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+………とあらわされる。 f(n)=1+1/1!+…+1/n!と定める。 f(5)=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!=2+(60+20+5+1)/120=2+43/60＜e 2.71 2+2/3+1/20 eより、2.71 eは示された。 次にe 2.72を示す。 f(n+1)=f(n)+1/n!で1/n!に初めて小数点第m位に0以外の数が表れる時、n!の桁...
• 12111004
  NO.7-1　余りの問題 問題 98 ： ◆fV8WklhOUQ ：2008/10/31(金) 00 32 40.44 ID ciaCpCcqO a,b,cは1 a b cを満たす整数で (ab-1)(bc-1)(ca-1)はabcで割りきれる このときa,b,cの組を求めよ 解答 +... (a,b,c)=(2,3,5) 解説 (ab-1)(bc-1)(ca-1)=(ab^2c-b(a+c)+1)(ca-1) =a^2b^2c^2-abc(a+c)+ca-ab^2c+ab+bc-1 =abc(abc-(a+b+c))+ab+bc+ca-1 これがabcで割り切れるので (abc)k=ab+bc+ca-1とあらわされる。 変形して、 k+1/abc=1/a+1/b+...
• 12120006
  NO.3-1 軸との交点 ～難易度☆☆☆★★ 問題 306 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/03(火) 01 00 35.39 ID VNDepRVA0 円　(x-2)二乗　+　(y-1)二乗　=4　と x軸との共有点を求めよ。 解答 +... (2+-√3,0) 解説 x軸との交点⇔y=0 よってy=0を代入すると (x-2)^2=3 x-2=+-√3 x=2+-√3
• 12130006
  NO.1-1　二次関数への帰着 ～難易度☆☆☆★★ 問題 16 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2009/07/20(月) 00 44 29.22 ID MAjApoqj0 aは定数とする ｆ（ｘ）=4＾ｘ+4＾（-ｘ）-a(2^x+2^(-x))+a^2 minを求めよ レベル2おっぱい 解答 +... a≧4の時は3a^2/4-2で最小。 a＜4の時はa^2-2a+2で最小。 解説 f(x)=(2^x+2^(-x))^2-2-a(2^x+2^(-x))+a^2と変形されるから t=2^x+2^(-x)とおくと f(t)=t^2-at+a^2-2 =(t-a/2)^2+3a^2/4-2 さて、ここで、tの範囲を求めると t=2^x+2^(-x)は2^x,2...
• 12111010
  NO.10-1　割合と連立方程式 ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/11(日) 00 33 13.28 ID A7f12GYx0 P社の昨年度の従業員総数は2000人で、本年は総数で18％増加したが、 内訳は本採用者は10％の増加で、臨時工は90％の増加という。 本年度の臨時工は全部で何人になったか。 解答 +... 380人 解説 昨年度の臨時工の数をx人,本採用者をy人とする。 2000×1.18=x×1.9+y×1.1…① 2000=x+y…②の連立方程式を解きます。 2000×118=190x+110y(①×100) 2000×110=110x+110y(②×110) これより 8×200...
• 12120009
  二次関数 問題 F(x)=5*(sin x)^2－10*a*sin x－n 　a,xは実数，nは自然数とする。 一般的なnについて，F(x)=0の解が存在するのはaがどのような値をとるときか。
• 12120004
  NO.1-1　三角関数を用いる問題 ～難易度☆☆★★★ 問題 299 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/19(木) 23 58 11.79 ID aR6s0m7p0 x^2+y^2=2のとき、xyの最大値と最小値 今適当に作ってみた 解答 +... 最大値1,最小値-1 解説 (x/√2)^2+(y/√2)^2=1ですので x/√2=sinθ,y/√2=cosθとおける。(0≦θ＜2π) xy=2sinθcosθ =sin2θ 1≦sin2θ≦1 ∴最大値1,最小値-1
• 12110006
  N0.6-1 一定区間内の任意の三点 難易度～☆☆★★★ 問題 20 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/28(金) 22 14 52.80 ID qq5l0/gR0 nを自然数とし、座標平面上でx座標、y座標がともに0以上n以下の整数である点を3頂点にもつ三角形の面積をSとする。 Sは何種類の値をとりうるか。 解答 +... n^2種類 解説 1/2≦S≦n^2/2であることは容易に分かる。 それぞれの三点を A(a,b)B(c,d)C(e,f)とすると(a c e) 直線ACはy=(f-b)/(e-a)×(x-a)+b でx座標がcの時のACのy座標はy=(f-b)/(e-a)×(c-a)+b(ただし、これをd未満とする。) S=1/2×(e-a)×(d-(f-b)/(e-a)×(c...
• 12210004
  NO.4-1　五心 ～難易度★★★★★ 問題 101 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/10(月) 21 58 07.22 ID VOeQFfO10 問題 三角形APBの外心を点O、内心を点I、垂心を点Hとなるようにとる。 ∠APB=60°∠HIO=160°の時、∠PABを求めよ。 解答 +... 40°,80° 解説 A,O,I,H,Bが同一円周上にあることを示します。 ∠AOB=2×60°=120° ∠AIB=(180-(180-60)/2)°=120° ∠AHB=30+30+60=120° これは、調べることによって判明しますので、∠AOB=∠AIB=∠AHB=120°となる。 また、AM=OM=BMから、A,Bを通る円M上にO...
• 12120005
  NO.2-1　変数を減らす～難易度☆☆★★★ 問題 327 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/20(金) 00 17 57.94 ID mIHxuGVJ0 曲線x^2+y^4=2の上を動く点から，点(0,1)までの距離の最大値および最小値と，それらを与える点の座標を求めよ. 解答 +... 最大値　√5 (x,y)=(+-1,-1) 最小値　√(1+√2-2^(1/4)) (x,y)=(0,2^(1/4)) 解説 A(0,1),P(x,y)としてAP=dとする。(Pはx^2+y^4=2上の点) d^2=x^2+(y-1)^2 これにx^2=-y^4+2を代入。(ここで、x^2≧0より-y^4+2≧0から2^(1/4)≧y≧-2^(1/4)) d^2=-y^4+y...
• 12240009
  NO.9-1　数学的帰納法 ～難易度☆☆★★★ 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/19(月) 23 40 16.88 ID EuGZjW4M0 x1、x2、x3…は実数でそれらの絶対値は1より小であるとする （x1x2x3x4…xn)＋n－1＞x1＋x2＋x3＋…xn　(n≧2) であることを証明してみなさい 解答 +... なんとなく帰納法で攻めたくなります。 n=2の時 x1*x2+1＞x1+x2 (1-x1)(1-x2)＞0でこれは絶対値が1より小の仮定より成立。 n=k以下での成立を仮定する。 （x1x2x3x4…x(k+1))＋k＞x1＋x2＋x3＋…x(k+1) ⇔ x(K+1)((x1x2x3…xk)-1)＞x1+…xk-k 仮定より(x1x2...
• 12120003
  NO.3-1　予選決勝法 ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/07(水) 21 15 47.06 ID 1lz40DQv0 みんなで問題出してヒントとか出しつつ解こうぜ a,b,c,dは実数で、 |a|≦2 ,|b|≦2 ,|c|≦2 ,|d|≦2, a+b=1,c+d=1を満たすとする このとき、ac+bdの最大値と最小値を求めよ 解答 +... 最大値13,最小値-2 解説 とりあえず変数を減らしてみる。 b=1-a,d=1-c…① |b|≦2,|d|≦2,|a|≦2,|c|≦2より 2≦1-a≦2,-2≦1-c≦2かつ|a|≦2,|c|≦2 ∴-1≦a≦2,-1≦c≦2…② ①の式を代入し...
• 12130003
  NO.3-1　sin^2θ+cos^2θ=1の式変形 ～難易度☆☆☆☆★ 問題 296 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/19(木) 23 57 10.92 ID 1M3NfNa90 sinθ+cosθ=√3/2　のときの （1）sinθcosθ （2）sin＾4+cos＾4θ 解答 +... (1)-1/8　(2)31/32 解説 この手の問題は二乗を上手く使うのがよいです。 (1) (sinθ+cosθ)^2=3/4 sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ=3/4 1+2sinθcosθ=3/4 2sinθcosθ=-1/4 ∴sinθcosθ=-1/8 (2)sin^4θ+cos^4θ=(sin^2θ+cos^2θ...
• 12130004
  NO.4-1　三角関数の最大最小 ～難易度★★★★★ 問題 198 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/02(月) 23 22 09.61 ID oHPytgrdO t=cosX*sinY=sinX+cosY＞0 であるとき，tのとりうる値の範囲を求めよ． (同志社大学) 解答 +... 0＜t≦2√2-2 解説 cosX=t/sinYであるから sinX^2+cosX^2=1　題の式より (t-cosY)^2+t^2/sinY^2=1 (t-cosY)^2+t^2/(1-cos^2Y)=1 (1-cos^2Y)(t^2-2tcosY+cos^2Y) +t^2=1-cos^2Y 1≦cosY≦1を満たすものが存在するtの範囲を求める。以降c...
• 12130002
  2-1　二倍角,三倍角の公式 ～難易度☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/01(日) 22 40 28.97 ID GToUrrL6O sinX+sin2X+sin3X+sin4X＝0 (0°≦X≦90゜) 補足 Xの値を全て求めよ。 解答 +... X=0°,72°,90° 解説 sinX+sin2X+sin3X+sin4X=0 sinX+2sinXcosX+(3sinX-4(sinX)^3)+2sin2Xcos2X=0←三倍角二倍角の公式を適宜用いる。 sinX+2sinXcosX+(3sinX-4(sinX)^3)+4sinXcosXcos2X=0←同様に。 sinX(1+2cosX+3-4(sinX)^2...
• 12111008
  NO.18-1　多重根号 ～難易度☆☆★★★ 問題 90 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/19(木) 22 27 10.77 ID RrU7YxGL0 計算せよ √(1001√(1000√(999√(998*996+1)+1)+1)+1) 解答 +... 1000 解説 (n+1)(n-1)+1=n^2であることを利用します。 この式より √(1001√(1000√(999√(998*996+1)+1)+1)+1) =√(1001√(1000√(999√(997^2)+1)+1)+1) =√(1001√(1000√(999*997+1)+1)+1) =√(1001√(1000*998+1)+1) =√(1001*999+1) =1...
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  N0.15-1　正方形の分割　～★３ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/11/10(火) 16 05 32.43 ID o4zxNs3Q0 これ解けるか？ 正方形ABCDがある 辺BC,CD,DAそれぞれの中点をP,Q,R,とおく 辺ABを三等分した点をそれぞれS,Tとおく 正方形ABCDの内部に適当においた点Uと点P,Q,R,S,Tをそれぞれ結ぶ この時できる四角形の面積はそれぞれ ASUR=216　TBPU=324　CQUP=378　DQUR=270である この時、三角形STUの面積を求めよ 文字にするとわけわかんなくなっちゃうけど 絵にするとわかりやすいからやってみて！ 解答 +... 108 解説 上図の正方形につい...
• 12120001
  1-1　二次関数の最大･最小　難易度～☆★★★★ 問題 78 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 19 41 55.09 ID XJP+DC730 ｆ（ｘ）＝－ｘ＾2－2ａｘ＋3ａ＋1（ｂ≦ｘ≦ｂ＋1）ｂ＝ａ＋2と定義する。 ｆ（ｘ）の頂点は（{ア}ａ、ａ＾2＋{イ}ａ＋1） －{ウ}/{エ}≦ａ≦{オカ}のとき、最大値はａ＾2＋{イ}ａ＋1 ａ＜－{ウ}/{エ}のとき、最大値は－3ａ＾2－9ａ－{キ} {オカ}＜ａのとき、最大値は－3ａ＾2－5ａ－{ク} {ケコ}/4＜ａのとき、最小値は－3ａ＾2－9ａ－{キ}となる。 また最大値をＭ、最小値をｍとしたとき、Ｍ－ｍの値が直線的に変化するとき ａの取りうる値の範囲は{サシ}＜ａ、ａ＜{スセ}/{ソ} 曲線的に変化するとき、Ｍ－ｍの最大値は{タ} ...
• 12110005
  NO.5-1　メルセンヌ素数 ～難易度☆☆★★★ 問題(改題) 108 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/17(月) 21 10 58.16 ID m5YHj5290 問題 m^n-1は素数である。 (1)mの値を求めよ。 (2)nは素数であることを証明せよ。 補足 m,nは自然数 n≧2 解答 +... (1)m=2 (2)解説参照 解説 (1) m^n-1=(m-1)(m^(n-1)+…+1)と因数分解されることから m-1≧2の時、素数という条件に反するため、m-1=1。 ∴m=2。 (2) nを合成数と仮定し、n=abとし、2^a=pとでもおく。(a,b≧2) p^b-1=(p-1...
• 12210001
  NO.1-1　傍接円と面積 ～難易度☆★★★★ 問題 　54 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/26(日) 21 54 00.65 ID Boluhyw10 △ABCの面積が2^2n 傍接円の半径が2^nと2^(n-1)があることがわかっている。 この時のもうひとつの傍接円の半径を決定せよ。 予想解答 +... (3+√(9+2^(n+1)))/2^n 予想解説 imageプラグインエラー ご指定のURLはサポートしていません。png, jpg, gif などの画像URLを指定してください。 必要な公式：ヘロンの公式 辺の長さがa,b,cの三角形の面積Sは、S=√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4で表される。 また、内接円の半径が...
• 12230008
  NO.8-1 確率と漸化式 ～難易度☆★★★★ 問題 48 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/11(日) 01 09 15.72 ID VsMfT0Ex0 1～6までの目があるサイコロを5n個振ったとき 目の和が5の倍数となる確率を求めよ。 解答 +... 1/5+(1/6^5)^n*4/5 解説 この問題は、簡単そうで意外と面倒な問題です。 k回ふった時について考えてみましょう。 ここでは、k回振った時の目の和が 5の倍数の確率をA_k 5の倍数+1の確率をB_k…以降同様にさだめる。 A_k+B_k+C_k+D_k+E_k=1となることと A_(k+1)=(A_k+B_k+C_k+D_k+2E_k)/6が成り立つことより =(...
• 12130001
  NO.1-1　sin10° ～難易度☆☆★★★ 問題 70 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 23 41 25.00 ID GhxBljbZ0 20°80°80°の二等辺三角形の長いほうの辺と小さいほうの辺の比を 1 sとした時のsの値を解にもつ整式の三次方程式をひとつ作れ。 解答 +... s^3-3s+1=0 解説 ちょっと珍しいタイプの問題です。 sin10°=s/2として考える。三倍角の公式から、 sin30°=3sin(10°)-4sin^3(10°) 1/2=3・s/2-4s^3/8 s^3-3s+1=0 NO.1-2　sin72° ～難易度☆☆★★★ 問題 sin72°を求めよ。 解...
• 12230009
  NO.9-1　順列と組み合わせの使い分け ～難易度☆☆★★★ 問題 55 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/15(日) 20 33 07.81 ID yYn9ZV5f0 (1)サイコロを6回振った時、全ての目が同じ回数だけ出る確率を求めよ。 (2)サイコロを6n回振った時、全ての目が同じ回数だけ出る確率を求めよ。 解答 +... (1)5/324　(2)(6n)!/(6^n*n!)^6 解説 (1) 全体は6^6通り。全ての目が同じ回数⇔全ての目が一回ずつでる。 これより出る目は決まってるから6個の順列が(1)の条件。 よって、6!/6^6=5!/6^5=20/6^4=5/324 (2) 全体は6^6n通り。全ての目が同じ回数⇔全ての目がn回ずつでる。 1...
• 12120008
  NO.5-1　反射する問題　難易度～☆★★★★？ 問題 156 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 21 53 42.11 ｘｙ平面　0≦ｘ≦10　－10≦ｙ≦10を考える。 Ａ（0、0）、Ｂ（0、－10）、Ｃ（10、－10）、Ｄ（10、0）とする。 Ａから発射され長方形ＡＢＣＤ内を反射する線分があり、入射角と反射角は等しいとする。 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれかに到達すると反射は終わる。 ｙ＝ｋ（－10≦ｋ≦0）と定める。ｆ（ｘ）＝ａｘ（ａ＜0） （１）ｙ＝－10ｘ/3と等しい傾きで線分を発射させたとき、線分がyを通過する回数の最 大値と最小値を求めよ （２）（１）の線分がｆ（ｘ）上を通過する回数の最大値と最小値を求めよ。ただし線上を 動く場合一回とカウントする。 解答 ...
• 12111007
  NO.17-1　因数分解 ～難易度☆☆☆☆★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/18(水) 22 16 11.68 ID KDIwLlOM0 a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) を因数分解せよ 解答 +... =-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) 解説 常識的に考えて降冪の順に並び替え。 因数分解の方法は次数の最も低いものを基準にして降冪の順に並べるのが基本。 a^3(b-c)-a(b^3-c^3)+bc(b^2-c^2) =a^3(b-c)-a(b-c)(b^2+bc+c^2)+bc(b-c)(b+c) =(b-c)(a^3-a(b^2+bc+c^2)+bc(b+c)) =(b-c)((c-a)b^2+(c...
• 12110016
  NO.16-1　整数問題と領域の融合+ペル方程式 難易度～★★★★★ 問題 135 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/17(土) 22 54 58.47 ID I/+beas90 [x]はx以下の最大の整数を表す。 z=[x]^2+x^2とする。ただしxは実数。 この時zの値として存在しない実数の集合をAとする。 Aの中に平方数はいくつあるか？ 解答 +... 無限に存在。 解説 とりあえずAを求めます。 y=[x]としてz=y^2+x^2となるのでzはy=[x]上のある点から原点までの距離の二乗である。 ⇔原点から円をかいた時にy=[x]と交わらない時の半径の二乗がAに含まれる。 これを調べて Aは0未満の実数とN^2+(N+1)^2(Nは整...
• 12110015
  NO.15-1　ユークリッドの互除法 ～難易度☆★★★★ 問題 18 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/18(水) 22 50 16.78 ID KDIwLlOM0 問題３ m,nは自然数で互いに素ならば，2^m-1,2^n-1も互いに素であることを示せ． 解答 +... 30 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/18(水) 23 11 07.56 ID 46KYa6Qc0 18 m nとしても一般性を失わない 2^m-1と2^n-1の公約数は、2^m-1と((2^m-1)-(2^n-1))の約数と等しい 2は公約数になりえないので、2^m-1と2^(m-n)-1の公約数とも等しい 以下ユークリッドの互除法を用いて、2^1-1との公約数=1に...
• 12120002
  NO.2-1　二次関数 ～難易度☆★★★★ 問題 211 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 23 22 10.82 ID XJP+DC730 xy平面にy=－x＾2＋6x－14があり、この放物線を①とする。 （1）この放物線の頂点をＣとする。この放物線を原点に関して対象移動したとき、 　放物線を②として、その頂点はＡとなった。Ａの座標は（{アイ}、｛ウ｝）である。 （2）②をx軸に関して対称移動した放物線の頂点をＢとして、さらにその放物線 　を原点に関して対称移動した放物線の頂点をＤとする。ＡＢＣＤをこの順で結 んで出来る四角形は辺上に格子点（x,yがともに整数の点）を｛エオ｝個含む。 （3）四角形ＡＢＣＤは境界線を含んでグラフＴの領域とする。すなわちＴの変域は ｛カキ｝≦x≦｛ク｝、値域は｛ケコ｝≦y≦{サ...
• 12111006
  NO.15-1 絶対値つき二次方程式 難易度～☆☆★★★ 問題 165 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 22 21 37.88 ID XJP+DC730 ｜ｘ＾2－2ｘ－15｜－ｘ－3＝0　の解はｘ＝{アイ}、{ウ}、{エ} 方程式が異なる二つの解を持つときのｘの範囲は{オカ}≦ｘ＜{キ}、この範囲に ｘ＾2－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝0（0＜ａ＜ｂ）が異なる二つの整数解を持つと考える。 この2次方程式の解をＡ,ＢとするとＡ Ｂ＝2 3が成り立つ。この時Ａの取りうる値は{ク} ｘ－4＜2ｋ＋1……①　2ｘ－6≧－12……②とする連立不等式が{オカ}≦ｘ＜{キ}に含まれるとき、ｋの範囲は{ケ}（以下から選ぶ） ケ　①ｋ＜－4　②ｋ≦－4　③ｋ＜0　④ｋ≦0　⑤ｋ＜4　⑥ｋ≦4 解答 +.....
• 12111001
  NO.2-1 式変形１～ 難易度☆☆☆☆★ 問題 25 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/29(水) 21 37 19.15 ID 4dQj4+CX0 {(x^ -2 )-(y^ -2 )}/{(x^ -1 )+(y^ -1 )} ↑この式を最も簡単な式で表せ。 解答 +... 1/x-1/y 解説 26 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/29(水) 21 39 25.57 ID GIEa1KdF0 分母分子にx^2y^2をかければ (y^2-x^2/(xy^2+x^2y) =(y-x)/xy =1/x-1/y NO.2-2 式変形２ ～ 難易度☆☆☆☆★ 問題 35 ：以下、名無しにか...
• 12230005
  NO.5-1 同じ色の碁石の問題 ～難易度☆☆★★★ 問題 68 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/25(火) 01 39 46.59 ID 6W9Gleec0 白の碁石が9個ある。これを組を区別せずに、どの組も4個以下となるように 3組に分ける方法は（ア）通りある。またA,B,Cの3人に、一人当たり4個以下 となるように分ける方法はイウ通りある 9個の白の碁石をA,B,Cの3人に分ける。全員少なくとも1個はもらえるような 分け方はエオ通りで、一つももらえない人がいてもよいとするとカキ通りに なる。 赤球4個,青玉4個,黄玉1個と黒の碁石2個の合計11個を一列に並べる。 玉が続けて5個以上現れない並べ方はイウ×クケコ通りある。 解答 +... (ア)=3　(イウ)=10...
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