12130004

NO.4-1　三角関数の最大最小 ～難易度★★★★★

問題

198 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/02(月) 23:22:09.61  ID:oHPytgrdO
   t=cosX*sinY=sinX+cosY＞0
   であるとき，tのとりうる値の範囲を求めよ．
   (同志社大学)

解答

...

0＜t≦2√2-2

解説

cosX=t/sinYであるから

sinX^2+cosX^2=1　題の式より

(t-cosY)^2+t^2/sinY^2=1

(t-cosY)^2+t^2/(1-cos^2Y)=1

(1-cos^2Y)(t^2-2tcosY+cos^2Y) +t^2=1-cos^2Y

• 1≦cosY≦1を満たすものが存在するtの範囲を求める。以降cosY=pとする。

(2-p^2)t^2-2tp(1-p^2)-(1-p^2)^2=0

{(√2+p)t+(1-p^2)}{(√2-p)t-(1-p^2)}=0

• 1≦p^2≦1,t＞0より(√2+p)t+(1-p^2)＞0

∴(√2-p)t-(1-p^2)=0

(p-√2)t=p^2-1

ここでグラフを考えてｐ≦1の範囲で(p-√2)tとp^2-1が接すればよいので

p^2-tp+√2t-1=0について

D=t^2-4(√2t-1)=0の時であればよい。

t=2√2-2

∴0＜t≦2√2-2

別解

sinX=p, cosY=qとおくと、題意の必要十分条件は

i) t=p+q＞0

かつ

ii) |p|＜1, |q|＜1

かつ

iii) (1-p^2)(1-q^2)=(p+q)^2 (与式を2乗して得られる)

である。

なぜならこのようなp, qに対して、 (cosX, sinY)=(±√(1-p^2), ±√(1-q^2)) (複号同順)とすればcosX*sinY＞0を満たすからである。

iii)よりpq=-1±√2tであるが、ii)より|pq|＜1であるからpq=-1+√2t

したがって、pとqはxの2次方程式

(x-p)(x-q)=x^2-tx+(-1+√2t)=0 の2解である。

この方程式が絶対値1未満の2実解を持つための必要十分条件を求め、i)と合わせて解を得る。