12110011


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NO.11-1 カタラン予想とその発展 ~難易度★★★★★?

問題

a,b,cは1≦a≦b≦cを満たす整数とする。また、nを自然数とする。
このとき2^a+2^b+2^c=6^nを満たす(a,b,c,n)の組をすべて求めよ。 

解答(不完全)

+...

(1,1,5,2),(1,1,1,1),(2,4,4,2),(4,8,10,4)

解説(不完全)

(1)a<nについて

94 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/03/07(土) 02:20:50.25 ID:pMTYt3Xh0
   とりあえずa<nはわかったと思う
   2^aで両辺を割って
   1+2^(b-a)+2^(c-a)=3^n*2^(n-a)
   b=aでないと偶奇から満たさないから
   2+2^(c-a)=3^n*2^(n-a)
   2^(a+1)=6^n-2^c
   a+1=cの時この式は満たされない。
   a+1=nの時は
   2^c=2^n(3^n-1)でn=2,1の時のみ右辺が2^mになる
   ∵カタラン予想
   ∴n=2,c=5 n=1,c=2←(a=0になって不適)
   この時(1,1,5,2)
   a+1<nの時
   2^(a+1)+2^c=6^n
   1=2^(c-(a+1))-2^(n-(a+1))*3^nより偶奇の不一致。 

(2)a>nについて

2^nで両辺を割って

2^(a-n)+2^(b-n)+2^(c-n)=3^n

c>n,b>n,a>nより左辺は偶数、右辺は奇数より不適。

(3)a=nについて

1+2^(b-n)+2^(c-n)=3^nとなる。

b=n=c=1の時成立し、(1,1,1,1)

(b=cの時は補題参照。)

b=n<cの時は偶奇を考えて成り立たないから不適。

よってb>n=aの時を考える。

つまり、1+2^m+2^n=3^lを満たす自然数組が見つかればよい。(*)

(*)については、現段階で(m,n,l)=(2,2,2),(4,6,4)の二組があり、これは(a,b,c,n)では

(2,4,4,2),(4,8,10,4)

以上より (1,1,5,2),(1,1,1,1),(2,4,4,2),(4,8,10,4)

(しかし、(*)を満たすものがこれ以上ある恐れあり)

さて、これ以外に解が存在しないことを示す。

1+2^n+2^m=3^l

1+2^n(1+2^(m-n))=3^lでm>nとしてよいから

1+2^(m-n)=kとおくとkは奇数である。

1+k*2^n=3^l

3^l-1=k*2^nは

lを奇数とすれば

(3-1)(3^(l-1)+3^(l-2)+…3^1+1)で3^(l-1)+3^(l-2)+…3^1+1は奇数であるから

左辺は2の倍数だが4の倍数でないのでn=1となる

この時、3+2^m=3^lを解くことになるがこれはmod3を考えれば解は存在しない。

これよりlは偶数である。l=2l'と以降置けば

1+2^n+2^m=9^l'を解くことに帰着するがこの時も同様にl'を奇数と考えると矛盾するからl'=2L"とおけて

1+2^n+2^m=81^l"を解くことに帰着する。

次にn,mを絞りこむmod3で考えると

2^1≡-1,2^2≡1より

(n,m)≡(0,0)(mod2)からn,mは偶数であるので以降

1+4^n+4^m=81^lを解くことへ帰着する。

v_2(a^n-1) = v_2(n)+v_2(a^2-1)-1
 v_2(x)とは、xが2^nで割り切れるような最大の整数nを意味する。ex v_2(2)=1,v_2(24)=3
a=3を代入して
 v_2(3^n-1) = v_2(n)+2
これがヒントらしいです

NO.11-2 補題 ~難易度☆★★★★

問題

1+2^m=3^nを満たす自然数組(m,n)を全て求めよ。

解答

+...

(m,n)=(1,1), (3,2)

解説

変形して

2^(m-1) = 3^(n-1) + 3^(n-2) + ... + 1

であるが、m=1以外の場合、2で割った剰余を考えてnは偶数でなければならない。n=2k(kは自然数)とおくと

2^m = 3^(2k) - 1 = (3^k - 1)(3^k + 1)

と書けて、3^k - 1と3^k + 1の両方が2のべき乗数でなければならない。差が2である二つの2のべき乗数は2と4のみ。このときk=1が適し、(m,n)=(3,2).

m=1のときと合わせて解を得る。

NO.11-3 カタラン予想の発展 ~難易度★★★★★?

問題

1+2^m+2^n=3^lを満たす自然数組(m,n,l)をすべて求めよ。
⇔1+4^m+4^n=81^lを満たす自然数組(m,n,l)をすべて求めよ。

解答

+...

解説

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