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(1,1,5,2),(1,1,1,1),(2,4,4,2),(4,8,10,4)
解説(不完全)
(1)a<nについて
94 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/07(土) 02:20:50.25 ID:pMTYt3Xh0
とりあえずa＜nはわかったと思う
2^aで両辺を割って
1+2^(b-a)+2^(c-a)=3^n*2^(n-a)
b=aでないと偶奇から満たさないから
2+2^(c-a)=3^n*2^(n-a)
2^(a+1)=6^n-2^c
a+1=cの時この式は満たされない。
a+1=nの時は
2^c=2^n(3^n-1)でn=2,1の時のみ右辺が2^mになる
∵カタラン予想
∴n=2,c=5 n=1,c=2←(a=0になって不適)
この時(1,1,5,2)
a+1＜nの時
2^(a+1)+2^c=6^n
1=2^(c-(a+1))-2^(n-(a+1))*3^nより偶奇の不一致。
(2)a>nについて
2^nで両辺を割って
2^(a-n)+2^(b-n)+2^(c-n)=3^n
c>n,b>n,a>nより左辺は偶数、右辺は奇数より不適。
(3)a=nについて
1+2^(b-n)+2^(c-n)=3^nとなる。
b=n=c=1の時成立し、(1,1,1,1)
（b=cの時は補題参照。）
b=n＜cの時は偶奇を考えて成り立たないから不適。
よってb＞n=aの時を考える。
つまり、1+2^m+2^n=3^lを満たす自然数組が見つかればよい。(＊)
(＊)については、現段階で(m,n,l)=(2,2,2),(4,6,4)の二組があり、これは(a,b,c,n)では
(2,4,4,2),(4,8,10,4)
以上より
(1,1,5,2),(1,1,1,1),(2,4,4,2),(4,8,10,4)
（しかし、（＊）を満たすものがこれ以上ある恐れあり）
さて、これ以外に解が存在しないことを示す。
1+2^n+2^m=3^l
1+2^n(1+2^(m-n))=3^lでm＞nとしてよいから
1+2^(m-n)=kとおくとkは奇数である。
1+k*2^n=3^l
3^l-1=k*2^nは
lを奇数とすれば
(3-1)(3^(l-1)+3^(l-2)+…3^1+1)で3^(l-1)+3^(l-2)+…3^1+1は奇数であるから
左辺は2の倍数だが4の倍数でないのでn=1となる
この時、3+2^m=3^lを解くことになるがこれはmod3を考えれば解は存在しない。
これよりlは偶数である。l=2l'と以降置けば
1+2^n+2^m=9^l'を解くことに帰着するがこの時も同様にl'を奇数と考えると矛盾するからl'=2L"とおけて
1+2^n+2^m=81^l"を解くことに帰着する。
次にn,mを絞りこむmod3で考えると
2^1≡-1,2^2≡1より
(n,m)≡(0,0)(mod2)からn,mは偶数であるので以降
1+4^n+4^m=81^lを解くことへ帰着する。
v_2(a^n-1) = v_2(n)+v_2(a^2-1)-1
v_2(x)とは、xが2^nで割り切れるような最大の整数nを意味する。ex v_2(2)=1,v_2(24)=3
a=3を代入して
v_2(3^n-1) = v_2(n)+2
これがヒントらしいです
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