12210007

NO.7-1　三角形の辺と角 ～難易度☆☆★★★

問題

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/19(木) 21:35:57.41 ID:dAudADTR0
   △ABCにおいて、AB=1,BC=a,CA=bとする。
   2A+3B=180°が成立するときb^2=1-aであることを示せ 

解答

...

2A+3B=180°より

C=A+2B。…①

そこで以下の図のように補助線と点D,点Eをとる。

imageプラグインエラー : ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (図形.jpg)

すると∠CED=∠CDE=●+○なのでCE=CD=xとおく。

△ACE∽△CBDよりAC:CB=CE:BD=EA:DC…②

これより、AE=bx/a,DB=ax/bとおける。

また、∠CED=∠BCEよりBC=EB=a

∴a=1-bx/a…③

これを変形してx=(1-a)a/b…④

また∠ACE=∠ECDより角の二等分の公式より

AC:CD=AE:ED

∴b:x=bx/a:(1-ax/b-bx/a)。③を代入して

b:x=(1-a):(a-ax/b)④を代入して

(1-a)^2*a/b=ab-a^2(1-a)/b

a(1-a)^2=ab^2-a^2(1-a)

b^2=(1-a)^2+a(1-a)=1-a

よって、b^2=1-aは示された。

解説

補助線の引き方によってさまざまな答えがあると思います。