12111002

NO.4-1 多項式　～難易度☆☆★★★

問題(自作)

3次以上の多項式P(2x)をx(x^2-1)で割った時の商をQ(x)とするとnを適当に定めることで
P(2x)=x(x^2-1)Q(x)+P(x-1)+P(x)+P(x+1)+3x^nが任意のxについて満たされるという。
この時のP(x)を決定せよ。

解答

...

P(x)=-x^3-2x

解説

典型的な多項式の割り算の問題ですが、少し捻ったつもりです。

P(x)の次数をmとする。

するとx(x^2-1)で割った時の余りは二次式以下であるから

P(x+1)P(x-1)+x^nは二次以下である。

P(x+1),P(x-1)がm次よりm≧4とするとP(x+1)+P(x-1)+x^nが三次式を超えるため不適。

また、m≧3よりm=3に決定する。また、この時P(x)=-x^3+ax^2+bx+cとおけて、n=3である。

また、Q(x)は定数であって三次の係数を比較してQ(x)=-8

• 8x^3+4ax^2+2bx+c=-8x(x^2-1)-((x-1)^3+x^3+(x+1)^3)+a((x-1)^2+x^2+(x+1)^2)+3bx+3c+3x^3

=-8x^3+8x-(3x^3+6x)+a(3x^2+2)+3bx+3c+3x^3

=-8x^3+3ax^2+(2+3b)x+2a+3c

係数を比較して

a=0,c=0,b=-2

よってP(x)=-x^3-2x

実際に

P(2x)=-8x^3-4xをx(x^2-1)で割ると

P(2x)=-8x(x^2-1)-12xで

P(x+1)+P(x-1)+P(x)=-3x^3-12xから

P(2x)=-8x(x^2-1)+P(x+1)+P(x-1)+P(x)+3x^3とあらわせる。

• 補足 実は、他の問題を用意していたのですが問題のミスを発見したため自作問題。

xに-1,0,1を代入して解く方法だとすごく綺麗に解けるような気がするけど罠。(のつもり)