12210011

NO.11-1　内接四角形の面積 ～難易度☆☆★★★

問題

21 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/13(土) 14:12:15.27 ID:PCPBFDS20
   直径ABとする円の円周上にAC=BCとなる点Cをとる。
   また、ABに関してCと反対側に∠ABD＝30°となるように円周上に点Dをとる。
   CD＝6のとき，四角形ACBDの面積はいくらか。 

解答

...

18

解説

この形からしてトレミーの定理を使うと一般的に解ける。

トレミーの定理
"円に内接する"四角形の対辺の積の和＝その四角形の対角線の和

AC=BC=rとすると条件より

AB=√2r,AD=r/√2,BD=√3r/√2からトレミーの定理より

AC*BD+AD*BC=AB*CDより

√3r^2/√2+r^2/√2=√2r*6

∴r=12/(√3+1)=6(√3-1)。

ACBDの面積をrを用いてあらわすと

S=1/2*AC*BC+1/2*AD*BD=r^2/2+√3r^2/4

=(2+√3)/4*r^2　でこれにrを代入して

=9(2+√3)(√3-1)^2

=9(2+√3)(4-2√3)

=18

• 別解(こっちを本解にすべきかも)

△ACDをBCにくっつけるように移動させると

内接四角形の定理より△ACD+△DBC=180°より直線になる。

これより新たにできた三角形を△CDD'とおく。

∠ACB=90°より∠DCD'=90°

また、CD=CD'=6。

これより、6×6/2=18//

• 補足 別解では、実は30°の条件を使ってません。

同じ辺や同じ角を見つけたらくっつけてみたり重ねてみると結構巧くいきます。