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NO.13-1 ヘロンの公式・ブラマグプタの公式 ～難易度☆★★★★

問題

(1)三角形ABCの各辺の長さをa,b,cとし、その面積をS、またs=(a+b+c)/2とすると
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)を示せ。
(2)円に内接する四角形ABCDの各辺の長さをa,b,c,dとし、その面積をS,s=(a+b+c+d)/2とすると
S=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)を示せ。

解答

...

解説参照

解説

(1)

S=1/2*absinC=1/2*ab*√(1-cos^2C)=1/2*ab*√(1-cosC)(1+cosC)

ここで、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abより

S=1/2*√(ab-(a^2+b^2-c^2)/2)(ab+(a^2+b^2-c^2)/2)

=1/4*√(c^2-(a-b)^2)(-c^2+(a+b)^2)

=1/4*√(c+a-b)(c-a+b)(a+b-c)(a+b+c)

=1/4*√(2s-2b)(2s-2a)(2s-2c)(2s)

=√s(s-a)(s-b)(s-c)

(2)これは、若干面倒ですが…

ABCDを2つの三角形と考えてある1つの対角線の長さをeとおく。

内接四角形の定理より対角のcosの値は絶対値が等しいので

S=1/2*absinθ+1/2*cdsinθとできて

e^2=a^2+b^2-2abcosθ=c^2+d^2+2cdcosθから

cosθ=(a^2+b^2-(c^2+d^2))/2(ab+cd)

これよりsin^2θ=1-cos^2θ=(1+cosθ)(1-cosθ)

=(2(ab+cd)+a^2+b^2-(c^2+d^2))(2(ab+cd)+c^2+d^2-(a^2+b^2))/4(ab+cd)^2

=((a+b)^2-(c-d)^2)((c+d)^2-(a-b)^2)/4(ab+cd)^2

=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)/4(ab+cd)^2

=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)/4(ab+cd)^2

=4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/(ab+cd)^2

∴S=1/2*(ab+cd)*√4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/(ab+cd)^2

=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

• 補足 d=0の場合がヘロンの公式です。