12230014

NO.14-1 格子点 ～難易度☆☆★★★

問題

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/07/07(火) 10:58:57.86 ID:jlQA295l0
   xyz空間において、不等式
   |x|+|y|+|z|≦n (n=1,2,・・・・)
   で表される領域Dnに含まれる格子点(x座標、y座標、z座標がすべて整数である点)の数をanとする。
   (1)xy平面において、不等式|x|+|y|≦m(m=0,1,・・・・)で表される領域をEmとする。Emに含まれる格子点の数を求めよ。
   (2)anを求めよ。
   ソースは乙会東大コース7-1なんですが、今日までに解かなきゃならないのでどうかオナシャス！

解答

...

(1)2m^2+2m+1

(2)4n^3/3+2n^2+8n/3-1

解説

(m=3の場合)

(1)場合の数をマスターするには、数列をマスターすることが不可欠です。

図を元にx座標を固定した時のyの個数での数列の和を作って

2Σ[k=1,m](2k-1)+2(m+1)-1

=2m(m+1)-2m+2m+1=2m^2+2m+1

(2) |x|+|y|≦n-|z|で n-|z|=kと固定すると 0≦k≦n-1とk=nまであって、

(1)を利用して

2Σ[k=1,n-1]2k^2+2k+1+2n^2+2n+1

=4×1/6n(n-1)(2n-1)+2n(n-1)+2(n-1)+2n^2+2n+1

=2n(n-1)(2n-1)/3+4n^2+2n-1

=4n^3/3+2n^2+8n/3-1

NO.14-2　格子点2　～難易度☆★★★★

問題

1:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2009/07/20(月) 00:28:51.02 

ID:MAjApoqj0

数学しようぜｗｗｗｗｗｗｗｗｗ 
ｘ/2+ｙ/3+ｚ/6≦10を満たす0以上の整数の組の個数を求めよ。
レベル　6おっぱい 

解答

...

3806

解説

6x+2y+z≦60

2y+z≦6(10-x)で

x=kと固定して

2y+z≦6(10-k)

更にy=tと固定して

0≦z≦6(10-k)-2tから

zの個数は、(6(10-k)-2t+1)個で

tを動かして

Σ[t=0,3(10-k)](6(10-k)-2t+1)

=Σ[t=0,3(10-k)](61-6k)-2t

=(61-6k)(3(10-k)+1)-3(10-k)(3(10-k)+1)

=(*1)(31-3k)

=(31-3k)^2

更にkを動かすと

Σ[k=0,10](31-3k)^2

=Σ[k=1,10](9k^2-186k)+11*31^2

=9/6*10*11*21-93*10*11+11*31^2

=3*5*11*21-93*10*11+11*31^2

=11(15*21-930+31^2)

=11(315-930+961)

=11*346

=3806