1211012

NO.12-1 絶対値つきの式 ～難易度☆☆☆★★

問題

87:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2009/07/20(月) 01:26:57.47 ID:ycE4sF350 [sage] 
直感で答えよう  
nが整数であるとき、S=|n-1|+|n-2|+…+|n-100|の最小値と、その時のnの値を求めよ。 
レベル2おっぱい 

解答

...

2500 n=50,51

解説

f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-100|を考える。

n≦x≦n+1の時について考えると

n≦49の時xの係数は負なので減少関数。

n=50の時xの係数は0で定数。

n≧51の時xの係数は正なので増加関数。

これよりn=50とn=51で最小。

この時、

f(50)=49+48+…+1+0+1+…+50=2(1+…+49)+50=2×50×49/2+50=2500

念のため

f(51)=50+49+…+1+0+1+…+49=2(1+…+49)+50=2500