12130007

NO.7-1　テイラー展開? ～難易度★★★★★?

問題

45:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2008/11/05(水) 02:15:36.19 ID:w0+jQx6fO 
 自然対数の底ｅの小数第２位の値は１であることを示せ。

予想解答

...

テイラー展開を用いて

e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+………とあらわされる。

f(n)=1+1/1!+…+1/n!と定める。

f(5)=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!=2+(60+20+5+1)/120=2+43/60＜e

2.71<2+2/3+1/20<eより、2.71<eは示された。

次にe<2.72を示す。

f(n+1)=f(n)+1/n!で1/n!に初めて小数点第m位に0以外の数が表れる時、n!の桁数がm桁である。(10^nで表されない時)

ここで、2.719>f(7)>2.718でありn=8の8!は5桁なので1/8!は0.0001より小さい。

1/9!は0.00001より小さい。以降は、10以上の数をかけることになるので位が一つ以上さがることは明らか。

これより、n=8以降の数の和は0.000111…より小さくなることがわかるため

これより、0.001>1/8!+1/9!････････がわかる。

上の結果と合わせてe<0.001+2.719=2.72であることも示された。

よって2.71<e<2.72であるからeの小数第二位の値は1である。

解説

テイラー展開については、自分もほとんどならっていないので説明できないです（汗

(1+1/n)^nの計算とどっちが楽だろか…