12160008

NO.8-1　積分 ～難易度☆☆★★★

問題

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/24(水) 10:29:01.75 ID:1aHQbrpU0
   ∫０～π（（exp（x））（sin　x）＾2乗）ｄｘ　＞　８

• 補足 これを証明せよ。また、exp(x)=e^x,e＝2.7…,π=3.14…

解答

...

解説通り

解説

∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx>8を示す。

部分積分(循環型)>>

左辺=∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx=∫(0→π){e^x(1-cos2x)/2}dx

=∫(0→π){e^x/2}dx-I_1(I_1=∫(0→π){cos2x)/2}dxとおく)

(I_1=[e^xsin2x/4](0→π)-∫(0→π){e^xsin2x/4}dx
=[e^xcos2x/8](0→π)-∫(0→π){e^xcos2x/8}dx
=(e^π-1)/8-I_1/4
∴I_1=(e^π-1)/10より)

=(e^π-1)/2-(e^π-1)/10

=2(e^π-1)/5

よって、

∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx>8

⇔e^π-1＞20

⇔e^π＞21　・・・①

一次近似>>

これはe^xのx=3での接線を考えて

y=e^3(x-3)+e^3

=e^3x-2e^3

x=πを代入して、またe^xは常に下に凸であるので

y=(π-2)e^3＜e^πを満たす・・・②

②より

e^π＞2.7^3*1.14＞19.68*1.14＞22.43＞21が示される。

これより①も示された。

以上より∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx>8

• 補足 東大の過去問らしいです。