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NO.8-1 積分 ~難易度☆☆★★★

問題

1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/06/24(水) 10:29:01.75 ID:1aHQbrpU0
   ∫0~π((exp(x))(sin x)^2乗)dx > 8
  • 補足

これを証明せよ。また、exp(x)=e^x,e=2.7…,π=3.14…

解答

+...

解説通り

解説

∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx>8を示す。

部分積分(循環型)>>

左辺=∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx=∫(0→π){e^x(1-cos2x)/2}dx

=∫(0→π){e^x/2}dx-I_1(I_1=∫(0→π){cos2x)/2}dxとおく)

(I_1=[e^xsin2x/4](0→π)-∫(0→π){e^xsin2x/4}dx
=[e^xcos2x/8](0→π)-∫(0→π){e^xcos2x/8}dx
=(e^π-1)/8-I_1/4
∴I_1=(e^π-1)/10より)

=(e^π-1)/2-(e^π-1)/10

=2(e^π-1)/5

よって、

∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx>8

⇔e^π-1>20

⇔e^π>21 ・・・①

一次近似>>

これはe^xのx=3での接線を考えて

y=e^3(x-3)+e^3

=e^3x-2e^3

x=πを代入して、またe^xは常に下に凸であるので

y=(π-2)e^3<e^πを満たす・・・②

②より

e^π>2.7^3*1.14>19.68*1.14>22.43>21が示される。

これより①も示された。

以上より∫(0→π){e^x(sinx)^2}dx>8

  • 補足

東大の過去問らしいです。

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