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(1)解説参照
(2)(a,b)=(2^n,2^n)(2*3^n,3^n)(3^n,2*3^n)(nは任意の非負数)
解説
(1)>>
c^2/d＝1+3ab/(a^2-ab+b^2)
＝1+3/{(a/b)+(b/a)-1}≦1+3/2-1＝4(相加・相乗平均より)
c^2/d>1を示す。
dは(a-b)^2+abとすれば正であることが示されるため
c^2-d>0を示せばよい。
左辺=(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)=3ab>0より示された。
よって1<c^2/d≦4
(2)>>
a^3+b^3=p^mとおける(pは素数,mは整数だが左辺2以上なのでmは自然数としてよい。)
左辺=(a+b)(a^2-ab+b^2)=cd=p^mより
c=p^s,d=p^(m-s)とおける(sは自然数)
(1より)1<p^(2s-(m-s))≦4
これを満たす(p,3s-m)の組は(2,1)(2,2)(3,1)である。
また、
(ⅰ)(p,3s-m)=(2,1)の時
3s-m=1からm=3s-1,c=2^s,d=2^(2s-1)。
c^2-d=3abで上よりc^2-d=2^(2s-1)で3ab=2^(2s-1)だがこれは右辺が3の倍数でないから不適。
(ⅱ)(p,3s-m)=(2,2)の時
3s-m=2からm=3s-2,c=2^s,d=2^(2s-2)。
(ⅰ)と同様にc^2-dを考えて 3ab=3*2^(2s-2)からab=2^(2s-2)より
a=2^a',b=2^b'とおくと(a'≦b')
2^3a'+2^3b'=2^mについて
2^3a'(1+2^3(b'-a'))=2^mで1+2^3(b'-a')はb'-a'>0の時1でない奇数になるため右辺の条件に合わない。
これよりb'=a'よりa=b=2^(s-1)。またこのsは任意の自然数を動けるので
a=b=2^n(nは任意の非負数)
(ⅲ)(p,3s-m)=(3,1)の時
3s-m=1からm=3s-1,c=3^s,d=3^(2s-1)
c^2-dを考えて3ab=3^2s-3^(2s-1)=2*3^(2s-1)よりab=2*3^(2s-2)。
(α)a=2*3^a",b=3^b"とおく時(a"≦b")
8*3^3a"+3^3b"=3^3a"(8+3^3(b"-a"))=3^m
ここで、8+3^3(b"-a")についてb"-a"＞0の時3の倍数でない数が現れるため不適。
∴b"=a"でこの時a=2*3^n,b=3^n(nは任意の非負数)
(β)a=3^a",b=2*3^b"とおく時(a"≦b")も
3^3a"(1+8*3^3(b"-a"))=3^mと変形されて
1+8*3^3(b"-a")もb"-a">0の時3の倍数でない数が現れるため不適。
∴a"=b"でこの時a=3^n,b=2*3^n(nは任意の非負数)
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