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NO.1-1 sin10° ~難易度☆☆★★★

問題

 70 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/30(木) 23:41:25.00 ID:GhxBljbZ0
   20°80°80°の二等辺三角形の長いほうの辺と小さいほうの辺の比を
   1:sとした時のsの値を解にもつ整式の三次方程式をひとつ作れ。 

解答

+...

s^3-3s+1=0

解説

ちょっと珍しいタイプの問題です。

sin10°=s/2として考える。三倍角の公式から、

sin30°=3sin(10°)-4sin^3(10°)

1/2=3・s/2-4s^3/8

s^3-3s+1=0

NO.1-2 sin72° ~難易度☆☆★★★

問題

 sin72°を求めよ。

解答

+...

√(10-2√5)/4

解説

sin108°=3sin36°-4sin^3(36°)

sin72°=2sin36°cos36°

これらは等しいから

3sin36°-4sin^3(36°)=2sin36°cos36°

3-4sin^2(36°)=2cos36°

3-4(1-cos^2(36°))=2cos36°

4cos^2(36°)-2cos36°-1=0

cos36°=(1+√5)/4 (cos36°>0)

これより、cos72°=2(cos36°)^2-1=(6+2√5)/8-1=(√5-1)/4で

(sin72°)^2=1-(cos72°)^2=1-(6-2√5)/16=(5+√5)/8より

sin72°=√(5+√5)/2√2=√(10-2√5)/4

  • 補足

正五角形の面積は中心から頂点までの距離をrとして

S=r^2×1/2×sin72°×5=5r^2√(10-2√5)/8

となります。

r

NO.1-3 sin36°その2 ~難易度☆☆★★★

問題

29 :愛のVIP戦士@ローカルルール7日・9日投票:2008/12/08(月) 00:55:02.64 ID:2OUuEwOTO
   二次方程式4x^2-2x-1=0の大きいほうの解をcosθとおくとき、ほかの解をcosを用いて表せ
   また、この条件をみたすθの値を求めよ
   ただし0≦θ≦πとする 

解答

+...

cos3θ θ=36°

解説

解の公式を用いて

x=1+-√5/4

ここで、cos36°=(1+√5)/4よりθ=36°

cosα=(1-√5)/4とすると

2(cos36°) ^2-1=(3+√5)/4 -1=(-1+√5)/4=-cosα=cos72°

よってα=108°

他解はcos3θとあらわされる。

とき方がいまいちしっくりこない問題でした。

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