NO.1-1 sin10° ~難易度☆☆★★★
問題
70 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/30(木) 23:41:25.00 ID:GhxBljbZ0
20°80°80°の二等辺三角形の長いほうの辺と小さいほうの辺の比を
1:sとした時のsの値を解にもつ整式の三次方程式をひとつ作れ。
解答
+
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s^3-3s+1=0
解説
ちょっと珍しいタイプの問題です。
sin10°=s/2として考える。三倍角の公式から、
sin30°=3sin(10°)-4sin^3(10°)
1/2=3・s/2-4s^3/8
s^3-3s+1=0
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NO.1-2 sin72° ~難易度☆☆★★★
問題
sin72°を求めよ。
解答
+
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√(10-2√5)/4
解説
sin108°=3sin36°-4sin^3(36°)
sin72°=2sin36°cos36°
これらは等しいから
3sin36°-4sin^3(36°)=2sin36°cos36°
3-4sin^2(36°)=2cos36°
3-4(1-cos^2(36°))=2cos36°
4cos^2(36°)-2cos36°-1=0
cos36°=(1+√5)/4 (cos36°>0)
これより、cos72°=2(cos36°)^2-1=(6+2√5)/8-1=(√5-1)/4で
(sin72°)^2=1-(cos72°)^2=1-(6-2√5)/16=(5+√5)/8より
sin72°=√(5+√5)/2√2=√(10-2√5)/4
-
補足
正五角形の面積は中心から頂点までの距離をrとして
S=r^2×1/2×sin72°×5=5r^2√(10-2√5)/8
となります。
r
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NO.1-3 sin36°その2 ~難易度☆☆★★★
問題
29 :愛のVIP戦士@ローカルルール7日・9日投票:2008/12/08(月) 00:55:02.64 ID:2OUuEwOTO
二次方程式4x^2-2x-1=0の大きいほうの解をcosθとおくとき、ほかの解をcosを用いて表せ
また、この条件をみたすθの値を求めよ
ただし0≦θ≦πとする
解答
+
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cos3θ θ=36°
解説
解の公式を用いて
x=1+-√5/4
ここで、cos36°=(1+√5)/4よりθ=36°
cosα=(1-√5)/4とすると
2(cos36°) ^2-1=(3+√5)/4 -1=(-1+√5)/4=-cosα=cos72°
よってα=108°
他解はcos3θとあらわされる。
とき方がいまいちしっくりこない問題でした。
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最終更新:2009年06月14日 11:46