12160001

NO.1-1　極値の差 ～難易度？

問題

 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/25(土) 17:04:17.41 ID:V5pa72FP0
   3次関数f(x)=x^3+ax^2+bx(a,bは実数)がx=p,q(p＞0＞q)で極値を持ち、極大値と極小値の差が4である。
   (1)p-qの値を求めよ
   (2)xy平面上の2点(p,f(p))、(q,f(q))を通る直線lとy軸の交点をR(0.Y)とする。Yの取りうる値の範囲を求めよ。

解答

...

(1)p-q=18/(a^2-3b)

解説

f(q)-f(p)=4

f'(q)=0,f'(p)=0

ここで、f'(x)=3x^2+2ax+bから

f(x)=(3x^2+2ax+b)(x/3+a/9)-(b/3+2a^2/9)x-ab/9+bx

=(2b/3-2a^2/9)x-ab/9から

f(p)=p(2b/3-2a^2/9)-ab/9

f(q)=q(2b/3-2a^2/9)-ab/9で

f(q)-f(p)=(q-p)(2b/3-2a^2/9)=4

p-q=36/(2a^2-6b)=18/(a^2-3b)

また、p,qの存在条件はf'(x)=3x^2+2ax+bが2解を持つ条件なので

D/4=a^2-3b＞0。

(2)題の直線は、

y={(f(p)-f(q))/(p-q)}*(x-p)+f(p)でx=0を代入して

Y=f(p)-p(f(p)-f(q))/(p-q)

=(pf(q)-qf(p))/(p-q)

=(p(q(2b/3-2a^2/9)-ab/9)-q(p(2b/3-2a^2/9)-ab/9))/(p-q)

=(q-p)*ab/9/(p-q)=-ab/9

NO.1-2　接する曲線 ～難易度☆☆★★★？

問題

 40 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 22:53:08.04 ID:G7H+II5rO
   次の2曲線が第4象限内にある点で接するときのaの値を求めよ。
   ①y=f(x)=x^3+2x^2-5x-6 ②y=g(x)=x^2+4x+a 

予想解答

...

a=-(112√7+79)/27

予想解説

x座標がtの時に①と②が第四象限で接する時

f(t)=t^3+2t^2-5t-6=t^2+4t+a=g(t)かつf'(t)=3t^2+4t-5=2t+4=g'(t)(t＞0,f(t)=g(t)＜0)を満たせばよい。

⇔t^3+t^2-9t-6-a=0かつ3t^2+2t-9=0かつf(t)＜0,t＞0

3t^2+2t-9=0よりt=(-1+-2√7)/3でt>0よりt=(-1+2√7)/3

また、t^3+t^2-9t-6-a=0

⇔(3t^2+2t-9)(t/3+1/9)-6t-2t/9+1-6-a=0

⇔a=-5-56t/9(∵3t^2+2t-9=0)

=-5-56(-1+2√7)/27

=(56-27*5-112√7)/27

=-(79+112√7)/27

g(t)=(9-2t)/3+4t+a=3+10t/3+a

=3+10(-1+2√7)/9-(79+112√7)/27

=(81+30(-1+2√7)-(79+112√7))/27

=(-28-52√7)/27＜0より第四象限の条件も満たす。