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NO.3-1　四項間漸化式と平方数 ～難易度★★★★★？

問題

 91 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/07(金) 00:45:30.44 ID:10o6ex1wO
   数列{a_n}は、次の漸化式で与えられる。
   a_(n+3) = -a_(n+2) + 2a_(n+1) + 8a_n
   a_1 = a_2 = a_3 = 1
   この時a_nのすべての項は平方数であることを証明せよ。 

解答

...

解説

(a_(n+3)+3a_(n+2)+4a_(n+1))=2(a_(n+2)+3a_(n+1)+4a_n)と変形できる。

a_(n+2)+3a_(n+1)+4a_n=2^(n-1)*8=2^(n+2)

a_(n+2)=-3a_(n+1)-4a_n+2^(n+2)

3項間漸化式に帰着はしますが…(以下不明)

NO.3-2　必ず平方数になる数列 ～難易度☆☆☆☆★

問題

 (1)A_1からA_nまでの総和をS_nとした時にS_n=n^2となる数列{A_n}を求めよ。
 (2) (1)の数列の二項間漸化式を一つ作れ

解答

...

(1)A_n=2n-1

(2)A_(n+1)=A_n+2 (A_1=1)

解説

(1)S_n-S_(n-1)=A_n=n^2-(n-1)^2=2n-1

(2)A_(n+1)-A_n=2(n+1)-1-(2n-1)=2からA_(n+1)=A_n+2。またA_1=1