12110004

NO.4-1 数の大小 ～難易度☆★★★★

問題

 48:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2008/11/05(水) 02:19:01.63 ID:zPq0YMmyO 
  もう１問 素数Ｐとその素数より小さい素数全ての積に１を加えたものＱはどちらが大きいか

解答

...

Ｑ

解説

・Ｐ＜Ｑであることは、適当な数を当てはめることで容易に定められる。

・Ｐより小さい素数の中で、最大のものをＡとする。 　
また、Ｐより小さい素数（つまり、Ａ以下の素数）全ての積をＢとする。 　
　
いま、Ｑ≦Ｐであると仮定する。………① 　
このとき、 　
　Ａ＜Ｂ－１＜Ｂ＜Ｂ＋１＝Ｑ≦Ｐ………② 　
が成り立つ。 　
Ａより大きい最小の素数はＰであるため、 　
②を満たす（Ｂ－１）は合成数であり、 　
（Ｂ－１）より小さい何らかの素数、言い換えればＡ以下の何らかの素数の 　
倍数となっている。………③ 　
しかし、Ｂが、Ａ以下の素数全ての積となっているため、 　
（Ｂ－１）はＡ以下のいずれの素数の倍数でもないことになる。………④ 　
　
以上より、①を仮定すると、③と④の矛盾した帰結が導き出され、 　
①の仮定が誤りであることが分かる。 　
よって、Ｑ＞Ｐである。 　

NO.4-2　大小問題 ～難易度☆★★★★

問題

73 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/19(木) 22:22:38.84 ID:IWMu/lli0
   (0.99)^99 と (1.01)^(-101) はどちらが大きい？

解答

...

(0.99)^99

解説

(0.99)^99/(1.01)^(-101)=(0.99)^99*(1.01)^101

=(0.99)^100*(1.01)^100*101/99

=(1-0.0001)^100*1.01/0.99…①

ここで、(1-0.0001)^100*1.01/0.99＞1を示す。

そのために(1-x)^n＞1-xnを示す。

f(x)=(1-x)^n-(1-xn)として

f'(x)=-n(1-x)^(n-1)+n=n(1-(1-x)^(n-1))

でこれは、0＜x＜1ならf'(x)＞0

f(0)=0より0＜x＜1の範囲ではf(x)＞0より示された。

これにx=0.0001,n=100を代入すると

(1-0.0001)^100＞1-0.01=0.99より

(1-0.0001)^100*1.01/0.99＞1.01＞1

∴(0.99)^99＞(1.01)^(-101)