12110004


※上記の広告は60日以上更新のないWIKIに表示されています。更新することで広告が下部へ移動します。

NO.4-1 数の大小 ~難易度☆★★★★

問題

 48:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2008/11/05(水) 02:19:01.63 ID:zPq0YMmyO 
  もう1問 素数Pとその素数より小さい素数全ての積に1を加えたものQはどちらが大きいか

解答

+...

解説

・P<Qであることは、適当な数を当てはめることで容易に定められる。


・Pより小さい素数の中で、最大のものをAとする。  
また、Pより小さい素数(つまり、A以下の素数)全ての積をBとする。  
 
いま、Q≦Pであると仮定する。………①  
このとき、  
 A<B-1<B<B+1=Q≦P………②  
が成り立つ。  
Aより大きい最小の素数はPであるため、  
②を満たす(B-1)は合成数であり、  
(B-1)より小さい何らかの素数、言い換えればA以下の何らかの素数の  
倍数となっている。………③  
しかし、Bが、A以下の素数全ての積となっているため、  
(B-1)はA以下のいずれの素数の倍数でもないことになる。………④  
 
以上より、①を仮定すると、③と④の矛盾した帰結が導き出され、  
①の仮定が誤りであることが分かる。  
よって、Q>Pである。  

NO.4-2 大小問題 ~難易度☆★★★★

問題

73 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/02/19(木) 22:22:38.84 ID:IWMu/lli0
   (0.99)^99 と (1.01)^(-101) はどちらが大きい?

解答

+...

(0.99)^99

解説

(0.99)^99/(1.01)^(-101)=(0.99)^99*(1.01)^101

=(0.99)^100*(1.01)^100*101/99

=(1-0.0001)^100*1.01/0.99…①

ここで、(1-0.0001)^100*1.01/0.99>1を示す。

そのために(1-x)^n>1-xnを示す。

f(x)=(1-x)^n-(1-xn)として

f'(x)=-n(1-x)^(n-1)+n=n(1-(1-x)^(n-1))

でこれは、0<x<1ならf'(x)>0

f(0)=0より0<x<1の範囲ではf(x)>0より示された。

これにx=0.0001,n=100を代入すると

(1-0.0001)^100>1-0.01=0.99より

(1-0.0001)^100*1.01/0.99>1.01>1

∴(0.99)^99>(1.01)^(-101)

ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。