12120001

1-1　二次関数の最大･最小　難易度～☆★★★★

問題

 78 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 19:41:55.09 ID:XJP+DC730
 ｆ（ｘ）＝－ｘ＾2－2ａｘ＋3ａ＋1（ｂ≦ｘ≦ｂ＋1）ｂ＝ａ＋2と定義する。
 ｆ（ｘ）の頂点は（{ア}ａ、ａ＾2＋{イ}ａ＋1）
  －{ウ}/{エ}≦ａ≦{オカ}のとき、最大値はａ＾2＋{イ}ａ＋1
  ａ＜－{ウ}/{エ}のとき、最大値は－3ａ＾2－9ａ－{キ}
  {オカ}＜ａのとき、最大値は－3ａ＾2－5ａ－{ク}
  {ケコ}/4＜ａのとき、最小値は－3ａ＾2－9ａ－{キ}となる。
  また最大値をＭ、最小値をｍとしたとき、Ｍ－ｍの値が直線的に変化するとき
  ａの取りうる値の範囲は{サシ}＜ａ、ａ＜{スセ}/{ソ}
   曲線的に変化するとき、Ｍ－ｍの最大値は{タ}

解答

...

(ア)(イ)-,3　(ウエオカ)3,2,-,1　(キク)8,3　(ケコ)-,5　(サシ)-,1　(スセ/ソ)-,3,2

(タ)1

解説

(ア)(イ)

f(x)=-(x+a)^2+a^2+3a+1より (-a,a^2+3a+1)

(ウ)(エ)(オカ)

a+2≦x≦a+3であるので

a+2≦-a≦a+3の時に最大値がa^2+3a+1でこの時のaは

2≦-2a≦3だから-3/2≦a≦-1

(キ)

a＜-3/2の時はf(a+3)=-(a+3)^2-2a(a+3)+3a+1=-3a^2-9a-8

(ク)

a＞-1の時は、f(a+2)=-(a+2)^2-2a(a+2)+3a+1=-3a^2-5a-3

(ケコ)

最小値の場合分けは範囲の中間地点。つまり、a+5/2=-aよりa=-5/4

（サシ）（スセソ）(タ)

• 3/2＜-5/4＜-1の地点で場合分け。

a＞-1の時Ｍ-m＝-3a^2-5a-3-(-3a^2-9a-8)=4a+5

• 5/4＜a≦-1の時M-m=a^2+3a+1-(-3a^2-9a-8)=4a^2+12a+9

• 3/2≦a≦-5/4の時M-m=a^2+3a+1-(-3a^2-5a-3)=4a^2+8a+4

a＜-3/2の時M-m=-3a^2-9a-8-(-3a^2-5a-3)=-4a-5

サシスセソはa>-1,-3/2>a

タについて

• 5/4＜a≦-1→4(a+3/2)^2よりa=-1で最大で1。

• 3/2≦a≦-5/4→4(a+1)^2よりa=-3/2で最大で1。これよりタは1