210111


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(1)放物線C1:y=ax^2+bをx座標にa平行移動した時の放物線をC2とする。

この時のC1とC2との交点は(1,1)であった。

(a,b)を求めよ。

(2)x^2+y^2=1の時

(x-y)(1+4xy)が最大となる時のx+yの値を求めよ。

(3)2009をn進数で表すとき1桁目と2桁目がともに0である時のnの値を全て求めよ。(nは2以上の自然数)

(4)1/2^2の確率で4個,1/3^2の確率で9個,…1/n^2の確率でn^2個,それ以外は1個ふる。

あるnについての出る目の和の期待値をP(n)とする。

この時lim(n→∞)(P(n+2)-P(n-2))/(P(n+1)-P(n-1))を求めよ。

(5)x^nをx^2+x+1で割ったときの余りをR(x)とする。R(x)の多項式の係数が全部同じ値である時の係数を全て求めよ。

a:y=-x+3,b:y=0,c:x=0上に点A,B,Cを△ABCが正三角形となるようにとる。

点Aを0<x<3の範囲で動かした時の△ABCの重心Gの軌跡を求めよ。

A_1=1,A_(n+1)+A_(n+1)^2*A_n+A_(n+1)*A_n^2=A_nが任意のnについて満たす数列{A_n}

について以下の問いに答えよ。ただしA_n>0である。

(1)A_3の値を求めよ。

(2)S_n=Σ[k=1,n]A_kの値を求めよ。

(3)A_n>1/√(an-1)を全ての自然数nで満たすためのaの最小値を求めよ。

xy座標上に点O(0,0)と点A(1,0)と点P(cosθ,sinθ)をとる。(0<θ<180°)

△OAPの内接円の中心をI(X,Y)とする。

(1)X^2+Y^2=r^2を満たすrが有理数。⇔tan(θ/n)が有理数。  これを満たすための自然数nの値を求めよ。

(2)Yの値が最大となる時のXの値を求めよ。

A_(n+2)=4(A_n-A_(n-2)) (A_1=1,A_2=2,A_3=2,A_4=4)をn≧3について満たす数列{A_n}について

(1)S_2n=Σ[k=1,2n]A_kを求めよ。

(2)(α)S_2nが平方数であるような自然数nを全て求めよ。

(β)S_2nが立方数(ある自然数を3乗してあらわせる数)であるような自然数nを全て求めよ。

(3)S_2nがk乗数(kは5以上の自然数)で表されるようなnが存在しないことを証明せよ。

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